《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例3 如图1−2−18所示，已知ABCD - A₁B₁C₁D₁是一个正方体，求证：A₁D⊥BD₁.

答案：

证明 连接AD₁.因为ABCD - A₁B₁C₁D₁是正方体，

所以AB⊥平面ADD₁A₁，因此BD₁在平面ADD₁A₁内的射影为AD₁.

又因为ADD₁A₁是正方形，所以A₁D⊥AD₁，因此根据三垂线定理可知A₁D⊥BD₁

例4 如图1−2−19所示的三棱锥O - ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：

答案：

证明 因为CO⊥OA，CO⊥OB，

$OA\cap OB = O$

所以CO⊥平面OAB.

因此CD在平面OAB内的射影为OD，又因为CD⊥AB，所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB.

1. 设n₁，n₂分别是空间中两个不重合的平面α，β的法向量，分别根据下列条件判断平面α，β的位置关系.
(1)n₁=(-2，1，2)，n₂=(6，-3，-6)；
(2)n₁=(1，2，3)，n₂=(3，6，9).

答案：
(1) 方法一 $\cos\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}}{\vert\boldsymbol{n}_{1}\vert\vert\boldsymbol{n}_{2}\vert}=\frac{-2\times6 + 1\times(-3)+2\times(-6)}{\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}\times\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}+(-6)^{2}}}=-1$，$\therefore\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle = 180^{\circ},\therefore\alpha$与$\beta$平行.方法二 $\because\boldsymbol{n}_{2}=-3\boldsymbol{n}_{1},\therefore\boldsymbol{n}_{1}//\boldsymbol{n}_{2},\therefore\alpha//\beta$.
(2) $\because\boldsymbol{n}_{2}=3\boldsymbol{n}_{1},\therefore\boldsymbol{n}_{1}//\boldsymbol{n}_{2},\therefore\alpha$与$\beta$平行.