《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1. 若$P(x,y)$是圆$C$：$(x - 1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$上的任意一点，求$P(x,y)$到原点的距离的最大值和最小值.

答案： 依题意知圆的半径为$\frac{1}{2}$，圆心坐标为$(1,0)$，所以点$P$的横坐标$x\in[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。那么点$P$到原点$O$的距离$|OP|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{4}-(x - 1)^{2}}=\sqrt{2x-\frac{3}{4}}$，所以当$x=\frac{1}{2}$时，$|OP|$最小，为$\frac{1}{2}$；当$x=\frac{3}{2}$时，$|OP|$最大，为$\frac{3}{2}$。

2. 求圆$x^{2}+y^{2}+2x - 2ay - 4=0$（$a\in\mathbf{R}$）的半径的最小值.

答案： 把圆的方程化为标准形式，得$(x + 1)^{2}+(y - a)^{2}=5 + a^{2}$，圆的半径$r=\sqrt{5 + a^{2}}\geq\sqrt{5}$，当$a = 0$时，圆的半径最小，为$\sqrt{5}$。

3. 判断直线$4x - 3y + 6=0$与圆$(x - 4)^{2}+(y + 1)^{2}=25$的位置关系.

答案： 圆心$(4,-1)$到直线$4x - 3y + 6 = 0$的距离$d=\frac{|4\times4-3\times(-1)+6|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=5$，圆的半径$r = 5$。因为$d = r$，所以直线与圆相切。

4. 若$P(x,y)$是圆$C$：$(x - 3)^{2}+y^{2}=1$上的任意一点，求$P(x,y)$到直线$x - y + 1=0$的距离的最大值和最小值.

答案： 圆心$(3,0)$到直线$x - y + 1 = 0$的距离$d=\frac{|3 - 0+1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=2\sqrt{2}$。因为圆的半径$r = 1$，所以$P$到直线的距离的最大值为$2\sqrt{2}+1$，最小值为$2\sqrt{2}-1$。

5. 已知圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}+6x - 4=0$与圆$C_2$：$x^{2}+y^{2}+8y - 28=0$相交，求交点所在直线的方程.

答案： 联立两圆方程得$\begin{cases}x^{2}+y^{2}+6x - 4 = 0\\x^{2}+y^{2}+8y - 28 = 0\end{cases}$，两式相减，得$6x - 8y + 24 = 0$，即$3x - 4y + 12 = 0$。所以所求直线方程为$3x - 4y + 12 = 0$。

6. 已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.（设400 m标准跑道最内圈周长为400 m.）
（1）求每条直道的长度；
（2）建立平面直角坐标系$xOy$，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.

答案：

(1)圆弧总长度为$2\pi\times36 = 72\pi(m)$。故每条直道的长度为$\frac{400 - 72\pi}{2}=200 - 36\pi(m)$。
(2)如图D1所示，以该跑道中心为坐标原点，以平行$AB$的直线为$x$轴建立平面直角坐标系。由
(1)可得$E(18\pi - 100,0)$，$F(100 - 18\pi,0)$，易得所求函数解析式为$f(x)=\begin{cases}\sqrt{36^{2}-(x + 100 - 18\pi)^{2}},x\in[18\pi - 136,18\pi - 100)\\36,x\in[18\pi - 100,100 - 18\pi)\\\sqrt{36^{2}-(x + 18\pi - 100)^{2}},x\in[100 - 18\pi,136 - 18\pi]\end{cases}$

1. 求过点$(8,1)$且与两坐标轴都相切的圆的方程.

答案： 由题意可知所求圆的圆心在直线$y = x$上，设圆心坐标为$(m,m)$，那么圆的方程为$(x - m)^{2}+(y - m)^{2}=m^{2}$。把$(8,1)$代入圆的方程得$(8 - m)^{2}+(1 - m)^{2}=m^{2}$，解得$m = 5$或$m = 13$。所以所求圆的方程为$(x - 5)^{2}+(y - 5)^{2}=25$或$(x - 13)^{2}+(y - 13)^{2}=169$。

2. 求通过圆$(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=25$上的一点$A(6,8)$所作该圆的切线方程.

答案： 依题意知圆心$M(3,4)$，则直线$MA$的斜率$k_{MA}=\frac{8 - 4}{6 - 3}=\frac{4}{3}$，则所求切线的斜率为$-\frac{3}{4}$。所以所求切线方程为$y - 8=-\frac{3}{4}(x - 6)$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{2}$。

3. 已知$a＞0$，且
圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}-2ax - 2y + a^{2}-15=0$，
圆$C_2$：$x^{2}+y^{2}-4ax - 2y + 4a^{2}=0$.
分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时，实数$a$的取值范围.

答案： 把两圆的方程化成标准方程分别为圆$C_{1}:(x - a)^{2}+(y - 1)^{2}=16$，圆$C_{2}:(x - 2a)^{2}+(y - 1)^{2}=1$，所以圆$C_{1}$的圆心为$(a,1)$，半径$r_{1}=4$，圆$C_{2}$的圆心为$(2a,1)$，半径$r_{2}=1$。那么两圆的圆心距$d = a$。当两圆外离时，$d\gt r_{1}+r_{2}$，即$a\gt5$。当两圆外切时，$d=r_{1}+r_{2}$，即$a = 5$。当两圆相交时，$|r_{1}-r_{2}|\lt d\lt r_{1}+r_{2}$，即$3\lt a\lt5$。当两圆内切时，$d = |r_{1}-r_{2}|$，即$a = 3$。当两圆内含时，$d\lt|r_{1}-r_{2}|$，即$0\lt a\lt3$。

4. 求圆心在$y$轴上，经过点$(-2,2)$且与$x$轴相切的圆的方程.

答案： 设该圆的圆心为$M(0,m)$，依题意可得$\sqrt{(-2 - 0)^{2}+(2 - m)^{2}}=|m|$，解得$m = 2$，所以圆心为$(0,2)$，半径$r = 2$，所以所求圆的方程为$x^{2}+(y - 2)^{2}=4$。

5. 求经过圆$(x - 2)^{2}+y^{2}=16$内一点$(1,1)$且被圆截得弦长最短的直线的方程.

答案： 依题意知圆心$M(2,0)$，设$P(1,1)$，易知满足题意的直线与直线$MP$垂直。直线$MP$的斜率$k_{MP}=\frac{0 - 1}{2 - 1}=-1$，那么所求直线的斜率$k = 1$，故所求直线方程为$y - 1=x - 1$，即$y = x$。

6. 已知$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是圆的一条直径的两个端点，证明圆的方程是
$(x - x_1)(x - x_2)+(y - y_1)(y - y_2)=0$.

答案： 圆心坐标为$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$，所求圆的方程为$(x-\frac{x_{1}+x_{2}}{2})^{2}+(y-\frac{y_{1}+y_{2}}{2})^{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}]$，即$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}+y^{2}-(y_{1}+y_{2})y+\frac{(y_{1}+y_{2})^{2}}{4}=\frac{1}{4}(x_{1}-x_{2})^{2}+\frac{1}{4}(y_{1}-y_{2})^{2}$，即$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}\cdot x_{2}+y^{2}-(y_{1}+y_{2})y+y_{1}\cdot y_{2}=0$，即$(x - x_{1})(x - x_{2})+(y - y_{1})(y - y_{2})=0$。