《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例3 如图1 - 1 - 20所示，已知直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$D$为$A_{1}C_{1}$的中点，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 2$，$BC = CC_{1} = 1$，求$\overrightarrow{AB_{1}} \cdot \overrightarrow{CD}$.

答案： 解 由题意可知，$|\overrightarrow{BA}| = 2$，$|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BB_{1}}| = 1$，$\langle\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\rangle = 60^{\circ}$，$\langle\overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BA}\rangle = \langle\overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BC}\rangle = 90^{\circ}$，
所以$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2\times1\times\cos 60^{\circ} = 1$，$\overrightarrow{BB_{1}} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BB_{1}} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
又因为$\overrightarrow{AB_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_{1}} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}$，
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CC_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D} = \overrightarrow{CC_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}A_{1}} = \overrightarrow{BB_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$$= \overrightarrow{BB_{1}} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC})$，
所以$\overrightarrow{AB_{1}} \cdot \overrightarrow{CD} = (-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}) \cdot \left[\overrightarrow{BB_{1}} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC})\right]$
$= -\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BB_{1}} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_{1}} \cdot \overrightarrow{BB_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB_{1}} \cdot \overrightarrow{BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BB_{1}} \cdot \overrightarrow{BC}$$=-\frac{1}{2}\times4 + \frac{1}{2}\times1 + 1 = -\frac{1}{2}$.

① 如果空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{c}$，那么这三个向量是否一定共面？

答案： 一定共面. $a = 2b - 3c$ 满足共面向量定理，所以 $a,b,c$ 一定共面.

② 如果$A$，$B$，$C$是空间中的三点，且$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}$，那么这三个点是否一定共线？

答案： 一定共线. $AB\cap BC = B$，且 $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，所以三点共线.

③ 如果$A$，$B$，$C$，$D$是空间中的四点，且$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AD}$，那么这四个点是否一定共面？

答案： 一定共面. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 有公共点 $A$，且 $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AD}$，所以三向量满足共面向量定理，所以四点共面.

④ 如果空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，且$\boldsymbol{a} - y\boldsymbol{b} = x\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$，求$x$，$y$的值.

答案： 由题知，$(x - 1)a+(3 + y)b = 0$，且 $a,b$ 不共线，$\therefore x = 1,y=-3$.