《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例3 如图1−2−45所示，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA = 1. 求点D到平面PBC的距离.

答案： 解 依题意，AB，AD，AP是两两互相垂直的. 以A为原点，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1−2−45所示的空间直角坐标系.
则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
所以$\overrightarrow{BC} = (0，1，0)$，$\overrightarrow{BP} = (-1，0，1)$，$\overrightarrow{PD} = (0，1，-1)$.
设平面PBC的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (x，y，z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC} = y = 0\\\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BP} = -x + z = 0\end{cases}$
令z = 1，则得x = 1，y = 0，此时$\boldsymbol{n} = (1，0，1)$.
因为$\frac{|\overrightarrow{PD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} = \frac{|0×1 + 1×0 + (-1)×1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以点D到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.