《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

尝试与发现
（1）如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，分别探讨n//v与n⊥v时，直线l与平面α的关系；
（2）如果n₁是平面α₁的一个法向量，n₂是平面α₂的一个法向量，分别探讨n₁⊥n₂与n₁//n₂时，平面α₁与平面α₂的关系.

答案：

例1 已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁B与A₁C₁的中点. 求证：MN//平面ADD₁A₁.

答案：
证明 以A为原点，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA_{1}}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图1−2−14所示的空间直角坐标系.
则B(1，0，0)，A₁(0，0，1)，C₁(1，1，1)，
又因为M是A₁B的中点，所以M的坐标为$(\frac{1 + 0}{2}，\frac{0 + 0}{2}，\frac{0 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2})$，
即M$(\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2})$.
类似地，可得N$(\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1)$. 因此$\overrightarrow{MN} =(0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2})$