《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求点C₁到直线BD₁的距离.

答案： 解 以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1−2−43所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D₁(0，0，1)，C₁(0，1，1)，
因此$\overrightarrow{BD_1} = (-1，-1，1)$.
设E满足$\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BD_1}$且C₁E⊥BD₁，则
$\begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DB} + \lambda\overrightarrow{BD_1}\\&=(1，1，0) + \lambda(-1，-1，1)\\&=(1 - \lambda，1 - \lambda，\lambda)\end{aligned}$
即E$(1 - \lambda，1 - \lambda，\lambda)$，
所以$\overrightarrow{C_1E} = (1 - \lambda，-\lambda，\lambda - 1)$.又因为C₁E⊥BD₁，
所以$\overrightarrow{C_1E} \cdot \overrightarrow{BD_1} = 0$，
即$(-1)×(1 - \lambda) + (-1)×(-\lambda) + 1×(\lambda - 1) = 0$，解得$\lambda = \frac{2}{3}$，
因此$\overrightarrow{C_1E} = (\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}，-\frac{1}{3})$，
从而可知点C₁到直线BD₁的距离为$|\overrightarrow{C_1E}| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.