《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

② 如图所示，已知正三角形ABC的中心为O，OP⊥平面ABC且AB = 2OP = 2cm，求点P到这个正三角形各边的距离.

答案：
如图D2,取$BC$中点$M$,连接$OM$,$PM$,$OB$.
$\because O$为正三角形$ABC$的中心,$PO\perp$平面$ABC$,
$\therefore$点$P$到正三角形$ABC$各边的距离都相等,且都等于$PM$的长.
易得$\angle OBM = 30^{\circ}$,$OM\perp BC$,$BM = 1 cm$,
$\therefore OM=\frac{\sqrt{3}}{3}cm$,
在$Rt\triangle POM$中,$PM = \sqrt{PO^{2}+OM^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}(cm)$,
故点$P$到这个正三角形各边的距离均为$\frac{2\sqrt{3}}{3}cm$.

③ 已知三棱锥O - ABC中，OA，OB，OC的长度均为2，且两两互相垂直，求点O到平面ABC的距离.

答案： 由题意知,$AB = BC = AC = 2\sqrt{2}$.设点$O$到平面$ABC$距离为$h$.
易知$S_{\triangle ABC}=2\sqrt{3}$.
又$V_{C - OAB}=\frac{1}{3}OC\times S_{\triangle OAB}=\frac{1}{3}\times2\times\frac{1}{2}\times2\times2=\frac{4}{3}$.
$\therefore\frac{1}{3}\times h\times S_{\triangle ABC}=\frac{4}{3}$,即$\frac{1}{3}\times h\times2\sqrt{3}=\frac{4}{3}$,则$h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.故点$O$到平面$ABC$的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

④ 已知A(2，2，0)，B(1，4，2)，C(0，0，5)，求原点O到平面ABC的距离.

答案： $\overrightarrow{AB}=(-1,2,2)$,$\overrightarrow{AC}=(-2,-2,5)$,
设平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-x + 2y + 2z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-2x - 2y + 5z = 0\end{cases}$,
取$x = 7$,得平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(7,\frac{1}{2},3)$.
又$\overrightarrow{OC}=(0,0,5)$,$\therefore d=\frac{|\overrightarrow{OC}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{15}{\frac{\sqrt{233}}{2}}=\frac{30\sqrt{233}}{233}$.

⑤ 已知正方体ABCD - A'B'C'D'的棱长为1.
(1) 求B'到平面A'C'B的距离；
(2) 求平面A'C'B与平面D'AC之间的距离.

答案：
(1)设$B'$到平面$A'C'B$的距离为$h$.
$\because$正方体棱长为$1$,$\therefore A'B = A'C' = C'B=\sqrt{2}$,$\therefore S_{\triangle A'C'B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
又$V_{B - A'B'C'}=V_{B' - A'C'B}$,$\therefore\frac{1}{3}\times1\times1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}h\times\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得$h=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故$B'$到平面$A'C'B$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)易知$V_{正方体}=1$,
$V_{A' - AB'D'}=V_{C' - CB'D'}=V_{D - AD'C}=V_{B - AB'C}=\frac{1}{6}$,
$\therefore$四面体$B'AD'C$的体积为$1-\frac{1}{6}\times4=\frac{1}{3}$.
设$B'$到平面$AD'C$的距离为$h'$,
则$\frac{1}{3}\times S_{\triangle AD'C}\times h'=\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{6}}{2}\times h'=\frac{1}{3}$,
$\therefore h'=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
又$B'$到平面$A'C'B$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore$两平面间距离为$d = h' - h=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

习题1-2A
① 已知ABCD - A₁B₁C₁D₁是正方体，求直线A₁D与直线BD₁所成角的大小.

答案：
如图D3,以$D_{1}$为原点,分别以$D_{1}A_{1}$,$D_{1}C_{1}$,$D_{1}D$所在直线为$x$轴,$y$轴,$z$轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为$1$,则$D_{1}(0,0,0)$,$A_{1}(1,0,0)$,$D(0,0,1)$,$B(1,1,1)$,
$\therefore\overrightarrow{A_{1}D}=(-1,0,1)$,$\overrightarrow{D_{1}B}=(1,1,1)$,
$\therefore\cos\langle\overrightarrow{A_{1}D},\overrightarrow{D_{1}B}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_{1}D}\cdot\overrightarrow{D_{1}B}}{|\overrightarrow{A_{1}D}||\overrightarrow{D_{1}B}|}=0$,
故直线$A_{1}D$与直线$BD_{1}$所成角的大小为$90^{\circ}$.

② 已知A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，求平面ABC的一个单位法向量的坐标.

答案： $\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)$,$\overrightarrow{AC}=(-1,0,0)$.
设平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-x + y - z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-x = 0\end{cases}$,
取$y = 1$,则平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$,
则$\frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}(0,1,1)=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,
故平面$ABC$的一个单位法向量的坐标为$(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.

③ 如果直线l与平面α所成的角为$\frac{\pi}{6}$，且A，B是直线l上两点，线段AB在平面α内的射影的长为3，求线段AB的长.

答案： 由题意知,$AB=\frac{3}{\cos\frac{\pi}{6}} = 2\sqrt{3}$.

④ 如图所示三棱锥P - ABC中，已知AC⊥BC，且CD⊥AB，PC⊥平面ABC，分别写出图中所有：
(1) 所在直线与PC垂直的线段；
(2) 所在直线与AP垂直的线段；
(3) 直角三角形.

答案：
(1)$AC$,$BC$,$CD$,$AB$,$AD$,$DB$.
(2)$BC$.
(3)$\triangle PCA$,$\triangle PCB$,$\triangle PCD$,$\triangle ACD$,$\triangle ACB$,$\triangle BCD$,$\triangle PDA$,$\triangle PDB$均为直角三角形.