《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例4 已知棱长为2的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，M，N分别为A₁B₁，AD，CC₁的中点，判断直线AC与平面EMN的关系. 如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由.

答案： 解 以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1−2−48所示的空间直角坐标系.由正方体的棱长为2个单位长度，
有M(1，0，0)，E(2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以$\overrightarrow{ME} = (1，1，2)$，$\overrightarrow{MN} = (-1，2，1)$，$\overrightarrow{AC} = (-2，2，0)$.
设平面EMN的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (x，y，z)$，则
$\begin{cases}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{ME} = x + y + 2z = 0\\\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{MN} = -x + 2y + z = 0\end{cases}$
令z = 1，则得$\boldsymbol{n} = (-1，-1，1)$.
因为$\overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{n} = (-2)×(-1) + 2×(-1) + 0×1 = 0$，所以$\overrightarrow{AC} \perp \boldsymbol{n}$，
又因为点A显然不在平面EMN内，所以AC与平面EMN平行.
又因为$\overrightarrow{MA} = (1，0，0)$，
所以$\frac{|\overrightarrow{MA} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} = \frac{|(-1)×1 + (-1)×0 + 1×0|}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此点A到平面EMN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，这也是AC与平面EMN之间的距离.