《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1. 设(2， - 2，1)，(3， - 3，1)是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量.

答案： 设A(2,−2,1),B(3,−3,1),则$\overrightarrow{BA}$=(2,−2,1)−(3,−3,1)=(−1,1,0),
则直线I的一个方向向量为$\overrightarrow{BA}$=(−1,1,0).(答案不唯一)

2. 设$v_{1}$，$v_{2}$分别是空间中两条不重合的直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，分别根据下列条件判断直线$l_{1}$，$l_{2}$的位置关系.
（1）$v_{1}=(0,0,1)$，$v_{2}=(0,0,-3)$；
（2）$v_{1}=(2,-1,-2)$，$v_{2}=(6,-3,-6)$.

答案：
(1)易知cos<$v_{1}$，$v_{2}$>=$\frac{v_{1}v_{2}}{|v_{1}||v_{2}|}$=$\frac{ - 3}{1 \times 3}$=−1,
∴<$v_{1}$，$v_{2}$>=180°.故$l_{1}$//$l_{2}$
(2) 易知cos<$v_{1}$，$v_{2}$>= $\frac{v_{1}v_{2}}{|v_{1}||v_{2}|}$=$\frac{2 \times 6 + ( - 1)\times( - 3) + ( - 2)\times( - 6)}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}\times \sqrt{6^{2} + ( - 3)^{2} + ( - 6)^{2}}} $= 1
∴<$v_{1}$，$v_{2}$>=0°.故$l_{1}$//$l_{2}$

3. 设$v_{1}=(1,2,-2)$，$v_{2}=(-2,3,2)$分别是空间中直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，求直线$l_{1}$，$l_{2}$所成角的大小.

答案： cos<$v_{1}$，$v_{2}$>=$\frac{v_{1}v_{2}}{|v_{1}||v_{2}|}$=$\frac{1 \times( - 2) + 2 \times 3 + ( - 2)\times 2}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}\times \sqrt{( - 2)^{2} + 3^{2} + 2^{2}}}$= 0 ,
∴<$v_{1}$，$v_{2}$>=90°
故$l_{1}$与$l_{2}$所成角的大小为90°.

4. 已知点A(3，4，5)，B(3，4，0)，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{OA}$，且O为坐标原点，求点C的坐标.

答案：
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{OA}$,
∴$\overrightarrow{BC}$=2(3,4,5)=(6,8,10).
又$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BC}$=(3,4,0)+(6,8,10)=(9,12,10),
∴点C坐标为(9,12,10).

5. 如果直线l与直线m平行，v是直线l的一个方向向量，那么v也是直线m的一个方向向量吗？

答案： 是,设直线m的一个方向向量为$u$,因为直线l与直线m平行，所以$u//v$,所以v也是直线m的一个方向向量.

1. 已知非零向量$v_{1}$，$v_{2}$分别有$v_{1}//l$，$v_{2}//l$，是否一定存在非零实数$\lambda$，使得$v_{2}=\lambda v_{1}$？为什么？

答案： 一定.因为$v_{1}//l$，$v_{2}//l$,所以$v_{1}//v_{2}$,则存在非零实数λ,使得$v_{2}=\lambda v_{1}$

2. 已知点A(-2，3，0)，B(1，3，2)，P为线段AB上一点，且AP∶PB = 2∶3，求点P的坐标.

答案： 易知$\overrightarrow{AB}$ =(3,0,2),
∴$\overrightarrow{AP}$ =$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{5}$(3,0,2)=($\frac{6}{5}$,0,$\frac{4}{5}$).
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=(−2,3,0)+($\frac{6}{5}$,0,$\frac{4}{5}$)=(−$\frac{4}{5}$,3,$\frac{4}{5}$).
故点P的坐标为(−$\frac{4}{5}$,3,$\frac{4}{5}$).

3. 如图，在长方体ABCD - A'B'C'D'中：
（1）哪些棱所在直线与直线AA'互为异面直线且互相垂直？
（2）若$AB=\sqrt{3}$，$AA' = 1$，求向量$\overrightarrow{BA'}$分别与$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{D'C'}$，$\overrightarrow{B'C'}$的夹角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)棱B'C',C'D',BC,CD所在直线分别与直线AA'互为异面直线且互相垂直.
(2)由题意知，$\overrightarrow{C C '} = \overrightarrow{B B '}$，在$\triangle B B ' A '$中，$\angle B ' B A ' = 6 0 ^{\circ}$，
$\therefore \overrightarrow{B A '}$与$\overrightarrow{C C '}$夹角为60°.
$\because \overrightarrow{D ' C '} = \overrightarrow{A ' B '}$,    $\therefore \overrightarrow{B A '}与\overrightarrow{D ' C '}$夹角为150°.
$\because B ' C ' \perp平面A B B ' A '$，$B A ' \subset平面ABB'A'$,$\therefore B A ' \perp B ' C ',\therefore \overrightarrow{B A '}与\overrightarrow{B ' C '}$夹角为90 ° .