《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例4 在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：$M\in AD_{1}$，$N\in BD$，$MN\perp AD_{1}$，$MN\perp BD$.

答案：
解：以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图1−2−10所示的空间直角坐标系.

则$A(1,0,0)$，$D_{1}(0,0,1)$，$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$，
所以$\overrightarrow{AD_{1}}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,-1,0)$，$\overrightarrow{AB}=(0,1,0)$.
假设满足条件的M，N存在，而且$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AD_{1}}=(-t,0,t)$，$\overrightarrow{BN}=s\overrightarrow{BD}=(-s,-s,0)$，
则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=(t - s,-s + 1,-t)$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　因为$MN\perp AD_{1}$，$MN\perp BD$，所以$\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{AD_{1}}$，$\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{BD}$，
从而$\begin{cases}\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AD_{1}} = 0\\\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD} = 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}-(t - s)-t = 0\\-(t - s)-(-s + 1) = 0\end{cases}$，解得$t=\frac{1}{3}$，$s=\frac{2}{3}$.
因此，满足条件的M，N是存在的.