《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例3 如图1−2−38所示，已知四棱锥S - ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB = ∠ABC = 90°，且SA = AB = BC = 3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值.

答案：
解 依题意, AD, AB, AS 两两互相垂直。以A为原点，$\overrightarrow{A D} ， \overrightarrow{A B} ， \overrightarrow{A S}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如图1-2-38所示的空间直角坐标系。
则A(0,0,0), S(0,0,3), C(3,3,0), D(1,0,0),
所以 $\overrightarrow{A D} = (1 , 0 , 0)$,$\overrightarrow{D S} = ( - 1 , 0 , 3)$,  $\overrightarrow{D C} =(2,3,0)$
显然，AD是平面SAB的一个法向量。设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),则

令x=3,可得y=-2,z=1,此时n=(3,-2,1).

因为

=$\frac{3}{1 \times \sqrt{1 4}} = \frac{3 \sqrt{1 4}}{1 4}$
所以可知所求角的正弦值为$\sqrt{1 - \frac{9}{1 4}} = \frac{\sqrt{7 0}}{1 4}$