《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 如图1−2−15所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O - ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量.

答案：

解 由已知可得

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

=(0，b，0)-(a，0，0)

=(-a，b，0)，

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$

=(0，0，c)-(a，0，0)

=(-a，0，c).

设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，则

$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{AB}=-ax + by = 0\\n\cdot\overrightarrow{AC}=-ax + cz = 0\end{cases}$

将x看成常数，可解得$y = \frac{a}{b}x$，$z = \frac{a}{c}x$.

令x = bc，则y = ac，z = ab. 因此，n=(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量.