《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

13（10分）如图，在△ABC中，∠B = 30°，外角∠ACD = 100°，CE平分∠ACD，AF//CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．

答案： 解：
∵∠ACD 为△ABC 的外角，
∴∠ACD = ∠B + ∠BAC，
∴∠BAC = ∠ACD - ∠B = 100° - 30° = 70°。
∵∠ACD = 100°，CE 平分∠ACD，
∴∠ACE = 1/2∠ACD = 1/2×100° = 50°。
∵AF//CE，
∴∠CAF = ∠ACE = 50°，
∴∠BAF = ∠BAC - ∠CAF = 70° - 50° = 20°。

14（12分）（安徽合肥期末）按要求完成下列各小题．
（1）一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数；
（2）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数．

答案： 解：
(1)设这个多边形的边数为 n，根据题意，得(n - 2)×180° = 360° + 900°，解得 n = 9，故这个多边形的边数是 9。
(2)
∵正五边形内角和为(5 - 2)×180° = 540°，
∴其每个内角为 540°÷5 = 108°。
∵长方形每个内角为 90°，
∴∠F = 90°，
∴∠BAF = ∠ABC - ∠F = 108° - 90° = 18°，
∴∠EAF = ∠EAB + ∠BAF = 108° + 18° = 126°。

15（14分）（河南鹤壁期末）如图所示，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF = 30°，∠AFB = 70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．

答案： 解：
(1)
∵BF 为△ABC 的角平分线，∠CBF = 30°，
∴∠ABF = ∠CBF = 30°，∠ABC = 2∠CBF = 60°。
∵AD 为△ABC 的高，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BAD = 30°。在△ABF 中，∠ABF = 30°，∠AFB = 70°，
∴∠BAF = 80°。
∵AE 为△ABC 的角平分线，
∴∠BAE = 40°，
∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 10°。
(2)
∵∠ABC = 60°，∠BAC = 80°，
∴∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 40°，①当∠CFM = 90°时，∠BFC = 180° - ∠AFB = 110°，
∵∠CFM = 90°，
∴∠BFM = ∠BFC - ∠CFM = 20°；②当∠CMF = 90°时，∠BFM = ∠CMF - ∠CBF = 60°。综上，∠BFM 的度数为 20°或 60°。 解题关键点：求角的度数时，可以把未知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，也可以利用外角的性质把未知角转化为已知角的和或差求解。

16（16分）【新趋势·探究性问题】如图，在四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，∠DCE是四边形ABCD的一个外角．
（1）如图1，试判断∠DCE与∠A的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠B = 90°，AE平分∠BAD，CF平分∠DCE，且AE与CF相交于点F，试判断AE与CF的位置关系，并说明理由．

答案： 解：
(1)∠DCE = ∠A。理由如下：
∵∠B + ∠D = 180°，四边形 ABCD 的内角和为 360°，
∴∠A + ∠DCB = 360° - 180° = 180°。
∵∠DCE + ∠DCB = 180°，
∴∠DCE = ∠A。
(2)AE⊥CF。理由如下：如图，设 AE 与 CD 交于点 G。 ![img id=4] 由
(1)可知，∠BAD = ∠DCE，
∵AE 平分∠BAD，CF 平分∠DCE，
∴∠DAG = ∠BAG = ∠GCF = ∠ECF。又
∵∠DGA = ∠FGC，
∴∠ADG = ∠CFG。
∵∠B + ∠D = 180°，∠B = 90°，
∴∠ADG = 90°，
∴∠CFG = 90°，即 AE⊥CF。