《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

1（河南南阳新野期末）如图，四种正多边形瓷砖图案中，不能铺满地面的是 （ ）

答案： C 解析：A. 正三角形每个内角为60°，能整除360°，所以能铺满地面；B. 正方形每个内角为90°，能整除360°，所以能铺满地面；C. 正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；D. 正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面. 故选C. 解题关键点：图形能否铺满地面是看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，只用一种正多边形能够铺满地面的有正三角形、正四边形和正六边形.

2 如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种正多边形是 （ ）

A. 正五边形
B. 正六边形
C. 正七边形
D. 正八边形

答案： B 解析：
∵图形是三个完全相同的正多边形拼成的，
∴每个内角度数为360°÷3 = 120°，
∴边数为360°÷(180° - 120°)=6，故这种正多边形是正六边形. 故选B.

3（教材P104第1题改编）外角等于45°的正多边形______（填“能”或“不能”）铺满地面．

答案： 不能 解析：正多边形的外角等于45°，则内角等于135°，135°不能整除360°，所以不能铺满地面.

4（四川资阳期末）如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，如果用这种相同的四边形木板进行镶嵌，则至少需要______块才能完成镶嵌．

答案： 4 解析：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌. 而任意四边形的内角和是360°，所以只要将四边形木板四个顶点拼合在同一顶点就可以完成镶嵌，所以至少需要4块才能完成镶嵌. 解题关键点：用6个同一种三角形可以在同一顶点处完成镶嵌，用4个同一种四边形也可以在同一顶点处完成镶嵌.

5【新趋势·方案设计题】如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．

（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺满地面的方案？把你想到的方案画成草图．

答案： 解：
(1)正三角形的每个内角为60°，当每个顶点处有6个正三角形的内角时，恰好组成一个周角.
(2)不能. 理由如下： 正十边形的每个内角为180° - $\frac{360°}{10}$ = 144°，不能整除360°，即围绕一点拼在一起的正十边形的内角不能组成360°.
(3)如图所示，将三个相同的三角形不同的三个角绕一个点可围成一个平角，六个相同的三角形用此方法可围成一个周角，因此，用相同的任意三角形都能铺满地面. (答案不唯一，合理即可) ![img id=1]

6（山西临汾曲沃期末）下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是 （ ）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形

答案： B 解析：正八边形的每个内角度数为135°，135°×2 + 90° = 360°，所以需要与正方形组合. 故选B.

【变式】【原创题·生产生活】郑州德化路步行街始建于1905年，河南名吃如胡辣汤、羊肉烩面等多聚于此．近期市城建部门准备修缮该路段，欲用三种不同的边长相等的正多边形地砖铺设地面，其中已选好了用正十二边形地砖和正方形地砖两种，还需选用______，使这三种组合在一起可把街道铺满．

答案： 正六边形地砖或正三角形地砖 解析：
∵正方形和正十二边形的一个内角分别为90°、150°，而150°×2 + 90°＞360°，150° + 90°×2 = 330°，
∴在同一顶点处的正十二边形地砖与正方形地砖都只能用1块.
∵360° - (150° + 90°)=120°，
∴同一顶点处还可以选用边长相等的正六边形地砖1块或正三角形地砖2块，即还需选用正六边形地砖或正三角形地砖，使这三种组合在一起可把街道铺满. 解题关键点：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②有公共顶点；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.

7（河南南阳内乡期末）用边长相等的正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m、n满足的关系式是 （ ）
A. 2m+3n=12
B. m+n=8
C. 2m+n=6
D. m+2n=6

答案： D 解析：
∵正三角形和正六边形的一个内角分别为60°、120°，
∴根据题意可得60°×m + 120°×n = 360°，化简得m + 2n = 6. 故选D.

8 如图是由地砖铺设的地面的一部分，阴影部分由相同的正多边形地砖铺成，空白部分可用相同的正方形地砖铺设，则正多边形的内角和为______．

答案： 1080° 解析：设正多边形的边数为n，由图可知，一个顶点处由两个正多边形的内角和一个正方形的内角拼成，故可得正多边形每个内角的度数为$\frac{360° - 90°}{2}$ = 135°，
∴(n - 2)×180° = 135°×n，解得n = 8，
∴正多边形的内角和为(8 - 2)×180° = 1080°.