《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

14（9分）（易错题）解不等式$\dfrac{x - 5}{4} \leqslant \dfrac{3x + 2}{2} - 1$，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.

答案：
解：去分母，得\(x - 5 \leq 2(3x + 2) - 4\)。 - 去括号，得\(x - 5 \leq 6x + 4 - 4\)。 - 移项、合并同类项，得\(-5x \leq 5\)。 - 两边都除以\(-5\)，得\(x \geq -1\)。不等式的解集为\(x \geq -1\)，在数轴上表示如下：

15（9分）（山东济南中考）解不等式组$\begin{cases}4x ＞ 2(x - 1), \\ \dfrac{x + 2}{2} ＜ \dfrac{x + 5}{3},\end{cases}$并写出它的所有整数解.

答案：  解：\(\begin{cases}4x > 2(x - 1),① \\ \frac{x + 2}{2} < \frac{x + 5}{3},② \end{cases}\) - 解不等式①，得\(x > -1\)； - 解不等式②，得\(x < 4\)。 - 不等式组的解集为\(-1 < x < 4\)，故所有整数解为\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)。

16（12分）已知不等式组$\begin{cases}x + 1 ＜ 2a, \\ x - b ＞ 1\end{cases}$的解集是3＜x＜5，解关于y的方程ay+3b=0.

答案：  解：不等式组\(\begin{cases}x + 1 < 2a,① \\ x - b > 1,② \end{cases}\) - 解不等式①，得\(x < 2a - 1\)； - 解不等式②，得\(x > 1 + b\)。 - \(\because\)不等式组的解集是\(3 < x < 5\)，\(\therefore \begin{cases}2a - 1 = 5, \\ 1 + b = 3 \end{cases}\)解得\(\begin{cases}a = 3, \\ b = 2 \end{cases}\) - \(\therefore\)方程\(ay + 3b = 0\)即为\(3y + 6 = 0\)，解得\(y = -2\)。

17（12分）【新情境·传统文化】围棋，起源于中国，古代称“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4 000多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂. 某学校为丰富学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋. 已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元.
（1）求象棋和围棋的单价；
（2）学校准备购买象棋和围棋总共120副，总费用不超过3 500元，那么最多能购买多少副围棋？

答案： 解： - （1）设象棋的单价是\(x\)元，围棋的单价是\(y\)元，根据题意，得\(\begin{cases}4x + 4y = 220, \\ 5x + 3y = 215 \end{cases}\)解得\(\begin{cases}x = 25, \\ y = 30 \end{cases}\)答：象棋的单价是\(25\)元，围棋的单价是\(30\)元。 - （2）设购买围棋\(m\)副，则购买象棋\((120 - m)\)副，根据题意，得\(30m + 25(120 - m) \leq 3500\)，解得\(m \leq 100\)。答：最多能购买\(100\)副围棋。

18（14分）【新趋势·阅读理解题】先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题.
例题：解不等式(x−3)(x−5)＞0.
解：由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，可得①$\begin{cases}x - 3 ＞ 0, \\ x - 5 ＞ 0\end{cases}$或②$\begin{cases}x - 3 ＜ 0, \\ x - 5 ＜ 0,\end{cases}$解不等式组①得x＞5，解不等式组②得x＜3，所以(x−3)(x−5)＞0的解集为x＞5或x＜3.
请你利用上述解题思想解决下面的问题.
（1）求不等式(x−3)(x−5)＜0的解集；
（2）根据有理数的除法法则求不等式$\dfrac{x + 3}{x - 1} ＜ 0$的解集.

答案： 解： - （1）由有理数的乘法法则，两数相乘，异号得负，可得①\(\begin{cases}x - 3 > 0, \\ x - 5 < 0 \end{cases}\)或②\(\begin{cases}x - 3 < 0, \\ x - 5 > 0 \end{cases}\)解不等式组①得\(3 < x < 5\)，解不等式组②得无解，所以不等式\((x - 3)(x - 5) < 0\)的解集是\(3 < x < 5\)。 - （2）由有理数的除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，可得①\(\begin{cases}x + 3 > 0, \\ x - 1 < 0 \end{cases}\)或②\(\begin{cases}x + 3 < 0, \\ x - 1 > 0 \end{cases}\)解不等式组①得\(-3 < x < 1\)，解不等式组②得无解，所以不等式\(\frac{x + 3}{x - 1} < 0\)的解集是\(-3 < x < 1\)。