《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

典例3 若$a$使得关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x - 1}{3}+1＞\frac{x}{2}, \\6x - 5\geq a\end{cases}$有且仅有4个整数解, 求$a$的取值范围.
学霸说 先求不等式组的解集, 然后确定解集范围内的特殊解, 最后根据特殊解的个数取边界值, 从而求得字母的取值范围. 本题中, 先用含______的代数式表示不等式组的解集, 然后根据______构建关于______的不等式组, 最后求得取值范围.
【规范解答】

答案： $a$
@@不等式组有4个整数解
@@$a$
【规范解答】解不等式\(\frac{x - 1}{3}+1>\frac{x}{2}\)，得\(x<4\)；解不等式\(6x - 5\geq a\)，得\(x\geq\frac{a + 5}{6}\)。因为不等式组有解，所以不等式组的解集为\(\frac{a + 5}{6}\leq x<4\)。因为不等式组有且仅有4个整数解，即有0、1、2、3四个整数解，所以\(-1<\frac{a + 5}{6}\leq0\)，解得-11＜a≤-5。

4 若关于$x$的不等式$\frac{2x + 2}{3}＜x + a$的最小整数解为2, 求$a$的取值范围.

答案： 解不等式$\frac{2x+2}{3}＜x+a$.
∵不等式的最小整数解为2，
∴$1≤2-3a<2$,解得$0.

5 若存在一个整数$m$, 使得关于$x、y$的方程组$\begin{cases}3x + 2y = 4m + 5, \\x - y = m - 1\end{cases}$的解满足$x + 4y\leq3$, 且使不等式组$\begin{cases}5x - m＞0, \\x - 4＜-1\end{cases}$只有3个整数解, 则满足条件的所有整数$m$的和是 ( )
A. 12
B. 6
C. -10
D. -14

答案： D

6 (河南新乡校级阶段练习)若关于$x$的方程$3 - 2x = 3(k - 2)$的解为非负整数, 且关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\geq3, \\\frac{2k + x}{3}\leq x\end{cases}$无解, 求所有符合条件的整数$k$的值.

答案： 解:解关于z的方程3-2x=3(k-2),得x=\frac{9-3k}{2}.
∵方程的解为非负整数，
∴\frac{9-3k}{2}d≥0，且\frac{9-3k}{2}为整数，
∴k≤3，且3k为奇数。解不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1)\geq3, \\\frac{2k + x}{3}\leq x\end{cases}$得\frac{x≤-1
}{x≥k}由该不等式组无解,可知>-1，
∴-1<k≤3,
∴整数k的值为0、1、2、3.

又
∵为奇数,
∴整数k的值为1或3.

典例4 已知关于$x、y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = m, \\2x + 3y = 2m + 4\end{cases}$的解满足不等式组$\begin{cases}3x + y\leq0, \\x + 5y＞0,\end{cases}$求满足条件的$m$的整数值.
学霸说 先将字母看成常数解方程组, 用含字母的代数式表示方程组的解, 然后代入不等式组中构建关于字母的不等式组, 通过解该不等式组确定字母的取值范围. 本题中, 先利用加减消元求得$3x + y =$______, $x + 5y =$______, 然后整体代入不等式可得关于$m$的不等式组, 解不等式组确定$m$的整数值.
【规范解答】

1 (河南南阳南召期中)若$a - 2024 ＜ b - 2024$，下列各式中一定成立的是（ ）
A. $a + 2 ＞ b + 2$
B. $(1 + m^2)a ＜ (1 + m^2)b$
C. $1 - a ＜ 1 - b$
D. $\frac{a}{m} ＜ \frac{b}{m}$

答案：
$3m + 4$@@$m + 4$

@@B 解析：由a - 2024 b - 2024，可得a b，
∴ a + 2 b + 2，(1 + m²)a (1 + m²)b，- a ＞ - b，
∴ 1 - a ＞ 1 - b， 当m 0时，$\frac{a}{m}＞\frac{b}{m}$。故选B。