《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

11. （河南洛阳偃师期末）关于$x$的不等式组$\begin{cases}2a - x＞3 \\2x + 8＞4a\end{cases}$的解集中每一个$x$值均不在$-1\leq x\leq4$的范围中，则$a$的取值范围是（ ）
A. $a\geq4$或$a\leq1$
B. $a＞4$或$a＜1$
C. $1\leq a\leq4$
D. $a\geq4$

答案： A

12. 如果关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x - a＞0 ①\\\frac{2x - 1}{3}＜3 ②\end{cases}$只有两个整数解，那么$a$的取值范围是_______.

答案： $6\leq a9$

【变式】若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - a＜1 \\2b＜3x - 2\end{cases}$的整数解只有2、3、4，且$a$、$b$均为整数，则$a + b$的最大值为_______.

答案： 10

13. （易错题）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来：
（1）$\begin{cases}\frac{x + 1}{2}＞x - 1 \\3(x + 2)\geq2(x + 3)\end{cases}$；
（2）$\begin{cases}x - 4＜3(x - 2) \\\frac{1 + 2x}{3}+1\geq x\end{cases}$.

答案： 解： - （1）$\begin{cases}\frac{x + 1}{2}＞x - 1,①\\3(x + 2)\geq2(x + 3),②\end{cases}$解不等式①，得$x3$；解不等式②，得$x\geq0$，则不等式组的解集为$0\leq x3$，在数轴上表示为：（数轴略） - （2）$\begin{cases}x - 43(x - 2),①\\\frac{1 + 2x}{3}+1\geq x,②\end{cases}$解不等式①，得$x＞1$；解不等式②，得$x\leq4$，则不等式组的解集为$1x\leq4$，在数轴上表示为：（数轴略） - **易错点**：去分母时，易漏乘常数项.

14. 【新定义·新概念问题】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“相伴方程”.
例如：$x - 2=-1$的解为$x = 1$，不等式组$\begin{cases}x＜-x + 3 \\4x + 1\geq x - 5\end{cases}$的解集为$-2\leq x＜\frac{3}{2}$，不难发现$x = 1$在$-2\leq x＜\frac{3}{2}$的范围内，所以$x - 2=-1$是不等式组$\begin{cases}x＜-x + 3 \\4x + 1\geq x - 5\end{cases}$的“相伴方程”.
问题解决：
（1）在方程①$5 - x = 0$，②$3x=-1$中，不等式组$\begin{cases}x + 2＞-3 \\4x\leq4\end{cases}$的“相伴方程”是_______；（填序号）
（2）若关于$x$的方程$3k + x = 1$是不等式组$\begin{cases}x - 2＜0 \\3x - 1\leq4x\end{cases}$的“相伴方程”，求$k$的取值范围；
（3）若方程$x + 3 = 0$，$\frac{1 + 3x}{2}=-10$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 35\geq2m \\mx - 2m＜0\end{cases}$的“相伴方程”，直接写出$m$的取值范围.

答案： 解： - （1）② 提示：解方程$5 - x=0$，得$x = 5$；解方程$3x=-1$，得$x=-\frac{1}{3}$；解不等式组$\begin{cases}x + 2＞-3\\4x\leq4\end{cases}$，得$-5x\leq1$.$\because x = 5$不在$-5x\leq1$的范围内，$x=-\frac{1}{3}$在$-5x\leq1$的范围内，$\therefore$不等式组$\begin{cases}x + 2＞-3\\4x\leq4\end{cases}$的“相伴方程”是②. - （2）解关于$x$的方程$3k + x=1$，得$x = 1 - 3k$；解不等式组$\begin{cases}x - 20\\3x - 1\leq4x\end{cases}$，得$-1\leq x2$.$\because$关于$x$的方程$3k + x=1$是不等式组$\begin{cases}x - 20\\3x - 1\leq4x\end{cases}$的“相伴方程”，$\therefore x = 1 - 3k$在$-1\leq x2$的范围内，$\therefore - 1\leq1 - 3k2$，解得$-\frac{1}{3}k\leq\frac{2}{3}$. - （3）解方程$x + 3=0$，得$x=-3$；解方程$\frac{1 + 3x}{2}=-10$，得$x=-7$.$\begin{cases}x + 35\geq2m,①\\mx - 2m0,②\end{cases}$解不等式①，得$x\geq2m - 35$；由不等式②，当$m＞0$时，解不等式②，得$x2$，不等式组的解集为$2m - 35\leq x2$.$\because$方程$x + 3=0$，$\frac{1 + 3x}{2}=-10$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 35\geq2m\\mx - 2m0\end{cases}$的“相伴方程”，$\therefore x=-3$和$x=-7$都在$2m - 35\leq x2$的范围内，$\therefore2m - 35\leq - 7$，解得$m\leq14$，$\therefore0m\leq14$. 当$m0$时，解不等式②，得$x＞2$，不等式组的解集为$x＞2$.$\because x=-3$和$x=-7$都不在$x＞2$的范围内，$\therefore m0$不满足条件. 综上所述，$m$的取值范围为$0m\leq14$. - **核心素养**：本题考查了核心素养中的运算能力，通过定义和例题理解“相伴方程”，根据方程的解和不等式组解集的关系列出不等式是解题的关键.

典例1 (河南洛阳偃师期中)如果不等式组
$\begin{cases}\frac{x}{2}+a\geq2, \\2x - b＜3\end{cases}$的解集是$0\leq x＜1$, 那么$a + b$的值为
______.

答案： 1