《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

9 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10 cm，容器内水的高度为12 cm.把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中，则容器内的水将升高_______cm.（假设水不会溢出）

答案： 0.5

10（教材P20第1题改编）李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60 m，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6 m，请你用所学的知识解决以下问题.（篱笆的占地面积忽略不计）
（1）如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
（2）如果要在墙的对面留一个3 m宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？
                                                                                                            

答案： 解：
(1)设鸡舍的宽为x m，则长为(x + 6)m，依题意，得x + (x + 6) + x = 60，解得x = 18，所以鸡舍的长为18 + 6 = 24(m)，面积为18×24 = 432(m²). 答：长方形鸡舍的面积是432 m².
(2)设鸡舍的宽为y m，则鸡舍的长为(y + 6)m. 当鸡舍的长与墙为对面时，依题意，得y + y + (y + 6 - 3) = 60，解得y = 19，所以鸡舍的长为19 + 6 = 25(m). 鸡舍面积为19×25 = 475(m²). 当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意，得2(y + 6) + y - 3 = 60，解得y = 17，所以鸡舍的长为17 + 6 = 23(m). 鸡舍面积为17×23 = 391(m²). 答：如果在墙对面留一个3 m宽的门，那么鸡舍面积为475 m²或391 m².

11【新趋势·探究性问题】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高度为12 cm，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽.

（1）若甲槽的底面积是乙槽的2倍.
①当甲槽内水位下降x cm，则乙槽水位上升_______cm；（用含x的代数式表示）
②当甲槽与乙槽水位高度相等时，求水槽中水位的高度；
（2）如图2，若乙槽内放入高度为12 cm的圆柱形铁块，当甲槽内水位下降到4 cm时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位高度是17 cm.若乙槽的底面积是48 cm²，求甲槽的底面积和铁块的底面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在乙槽水位高度是甲槽水位高度的4倍的情况？若存在，请求出此时甲槽的水位高度，若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1)①2x 提示：
∵甲槽的底面积是乙槽的2倍，甲槽内减少的水的体积等于乙槽内增加的水的体积，
∴当甲槽内水位下降x cm时，乙槽水位上升2x cm. ②由①知，甲槽内水位下降x cm时，乙槽水位上升2x cm，根据题意，得12 - x = 2x，解得x = 4，则12 - 4 = 8(cm). 答：当甲槽与乙槽水位高度相等时，水槽中水位的高度为8 cm.
(2)由题意知，乙槽水位上升17 - 12 = 5(cm)，甲槽水位下降4 cm.
∵乙槽的底面积是48 cm²，
∴甲槽底面积为$\frac{48×5}{4}$ = 60(cm²). 设铁块的底面积为a cm²，根据题意，得60×(12 - 4) = (48 - a)×12，解得a = 8. 答：甲槽的底面积为60 cm²，铁块的底面积为8 cm².
(3)
∵当甲槽内的水位高度为4 cm时，乙槽内的水位高度为12 cm，此时高度比为1∶3，
∴只有当甲槽水位高度低于4 cm，乙槽水位高度高于12 cm时，才可能使乙槽水位高度是甲槽水位高度的4倍. 设甲槽水位高度为y cm，则乙槽的水位高度为4y cm，根据题意，得60y + 48×4y - 8×12 = 60×12，解得y = $\frac{68}{21}$. 答：存在乙槽水位高度是甲槽水位高度的4倍的情况，此时甲槽的水位高度为$\frac{68}{21}$ cm.