《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

1（河南洛阳汝阳期中）解二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 3,①\\2x + y = 5 ②\end{cases}$时，由加减消元法① - ②得到正确的方程是 （ ）
A. $5x = 8$
B. $x = 8$
C. $x = - 2$
D. $x = 2$

答案： C 解析：由① - ②，得$x = - 2$. 故选C.

2 在解关于 $x、y$的二元一次方程组$\begin{cases}6x + \bigcirc y = 3,①\\2x + \otimes y = - 1②\end{cases}$时，若① + ②可以直接消去未知数 $y$，则$\bigcirc$和$\otimes$的关系是 （ ）
A. 互为倒数
B. 互为相反数
C. 大小相等
D. 无法确定

答案： B 解析：由① + ②，得$8x+(\odot+\otimes)y = 2$. $\because$① + ②可以直接消去未知数$y$，$\therefore\odot+\otimes = 0$，故$\odot$和$\otimes$的关系是互为相反数. 故选B.

3 方程组$\begin{cases}5x - 6y = 4,\\x + 6y = 8\end{cases}$的解为_______.

答案： $\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$解析：$\begin{cases}5x - 6y = 4,①\\x + 6y = 8,②\end{cases}$① + ②，得$6x = 12$，即$x = 2$. 把$x = 2$代入②，得$2 + 6y = 8$，解得$y = 1$，所以方程组的解是$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$.

4【新定义·新概念问题】规定：对于两个一元多项式(含字母 $x$)来说，当未知数 $x$任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式恒等.
例如：若两个一元多项式 $x + 2$与 $ax + b$($a、b$是常数)是恒等的，那么 $a = 1$，$b = 2$. 如果多项式$(a + b)x^{3}+4x^{2}+1$与 $1+(a - b)x^{2}+10x^{3}$($a、b$是常数)恒等，那么$\frac{b}{a}$的值是_______.

答案： $\frac{3}{7}$解析：根据题意，得$\begin{cases}a + b = 10\\a - b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 7\\b = 3\end{cases}$，$\therefore\frac{b}{a}=\frac{3}{7}$. 解题关键点：本题考查解二元一次方程组，理解恒等多项式的定义并列出符合题意的二元一次方程组是解题关键.

5（教材P37练习改编）解下列方程组：
(1)$\begin{cases}2x - y = 1,\\x + y = 2;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}3x + 4y = 2,\\3x - y = - 3.\end{cases}$

答案： 解：- （1）$\begin{cases}2x - y = 1,①\\x + y = 2,②\end{cases}$① + ②，得$3x = 3$，即$x = 1$. 把$x = 1$代入②，得$1 + y = 2$，解得$y = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$. - （2）$\begin{cases}3x + 4y = 2,①\\3x - y = - 3,②\end{cases}$① - ②，得$5y = 5$，即$y = 1$. 把$y = 1$代入①，得$3x + 4 = 2$，解得$x = -\frac{2}{3}$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = -\frac{2}{3}\\y = 1\end{cases}$. 解题关键点：若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接将两方程相加或相减消元.

6（山西吕梁孝义期末）用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}x - 3y = 4,①\\2x + y = 1 ②\end{cases}$时，下列方法中无法消元的是 （ ）
A. ①×2 - ②
B. ②×( - 3) - ①
C. ①×( - 2)+②
D. ① - ②×3

答案： D 解析：①×2 - ②消去$x$，②×(-3) - ①消去$y$，①×(-2)+②消去$x$，① + ②×3消去$y$，① - ②×3无法消元. 故选D.

7 已知关于 $x、y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = 8,\\bx - ay = - 1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\end{cases}$则 $a、b$的值分别为 （ ）
A. $1、2$
B. $2、1$
C. $2、3$
D. $3、2$

答案： B 解析：根据题意，将$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = 8\\bx - ay = - 1\end{cases}$，得$\begin{cases}3a + 2b = 8\\3b - 2a = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 1\end{cases}$. 故选B.

8 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x - y = 3,\\5x + 2y = 27;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}4x + 8y = 12,\\3x - 2y = 5.\end{cases}$

答案： 解：- （1）$\begin{cases}3x - y = 3,①\\5x + 2y = 27,②\end{cases}$由①×2 + ②，得$11x = 33$，即$x = 3$. 将$x = 3$代入①，得$3\times3 - y = 3$，解得$y = 6$，$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$. - （2）$\begin{cases}4x + 8y = 12,①\\3x - 2y = 5,②\end{cases}$由① + ②×4，得$16x = 32$，即$x = 2$. 将$x = 2$代入①，得$4\times2 + 8y = 12$，解得$y = \frac{1}{2}$，$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = \frac{1}{2}\end{cases}$.

9（四川遂宁蓬溪期中）解关于 $x、y$的方程组$\begin{cases}(a + 2)x+(3b + 2)y = 3,①\\(5b - 1)x-(4a - b)y = 7,②\end{cases}$可以用①×3 - ②消去未知数 $x$，也可以用① + ②×4消去未知数 $y$，则 $a、b$的值分别为 （ ）
A. $1、 - 2$
B. $ - 1、 - 2$
C. $1、2$
D. $ - 1、2$

答案： C 解析：根据题意，得$\begin{cases}3(a + 2)-(5b - 1)=0\\3b + 2 - 4(4a - b)=0\end{cases}$，化简得$\begin{cases}3a - 5b = - 7\\16a - 7b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$. 故选C.

10（河南模拟）已知方程组$\begin{cases}2x + y = 3,\\x - 2y = 5,\end{cases}$则 $2x + 6y$的值是_______.

答案： -4 解析：方程组$\begin{cases}2x + y = 3,①\\x - 2y = 5,②\end{cases}$① - ②，得$x + 3y = - 2$，$\therefore 2x + 6y = 2(x + 3y)=2\times(-2)= - 4$.

11（一题多解）（河南开封鼓楼期中）关于 $x、y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3m,\\x - y = 9m\end{cases}$的解也是方程 $3x + 2y = 17$的解，则 $m$的值是_______.

答案： 1 解析：$\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m,②\end{cases}$ - 解法一：① - ②，得$3y = - 6m$，即$y = - 2m$. 把$y = - 2m$代入①，得$x - 4m = 3m$，解得$x = 7m$. 把$x = 7m$，$y = - 2m$代入$3x + 2y = 17$，得$21m - 4m = 17$，解得$m = 1$. - 解法二：①×3 - ②，得$2x + 7y = 0$，$2x + 7y = 0$与$3x + 2y = 17$组成新方程组$\begin{cases}2x + 7y = 0\\3x + 2y = 17\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 7\\y = - 2\end{cases}$. 把$\begin{cases}x = 7\\y = - 2\end{cases}$代入①，得$7 - 4 = 3m$，解得$m = 1$.