《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

10（湖南衡阳衡山期中）已知$|2x - 3y + 4|$与$(x - 2y + 5)^{2}$互为相反数，则$(x - y)^{2025}=$______．

答案： 1

11 如果方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\mx + ny = 8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}x - y = 1, \\mx - ny = 4\end{cases}$有相同的解，则$m - n=$______．

答案： 1

12 已知关于$x、y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + 5y = 6, \\3x + ky = 10,\end{cases}$给出下列结论：①当$k = 5$时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程$6x + 15y = 16$的解，则$k = 10$；③无论整数$k$取何值，此方程组一定无整数解（$x、y$不均为整数）．其中正确的是______．（填序号）

答案： ①②③

13（10分）解下列方程组：
（1）$\begin{cases}x - y = 1, \\3x + 2y = 8;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}y = -1, \\2(x - 1)=1 - y.\end{cases}$

答案： 解：（1）$\begin{cases}x - y = 1,①\\3x + 2y = 8,②\end{cases}$，$①\times2 + ②$，得$5x = 10$，即$x = 2$. 把$x = 2$代入$①$，得$2 - y = 1$，解得$y = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$. - （2）方程组整理得$\begin{cases}x - 3y = - 2,①\\2x + y = 3,②\end{cases}$，由$①$，得$x = 3y - 2③$. 把$③$代入$②$，得$2(3y - 2)+y = 3$，解得$y = 1$. 把$y = 1$代入$③$，得$x = 1$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$.

14（12分）已知方程组$\begin{cases}2x + y = 7, \\x = y - 1\end{cases}$的解也是关于$x、y$的方程$ax + y = 4$的一个解，求$a$的值．

答案： 解：方程组$\begin{cases}2x + y = 7,①\\x = y - 1,②\end{cases}$把$②$代入$①$，得$2(y - 1)+y = 7$，解得$y = 3$. 将$y = 3$代入$②$，得$x = 2$. 把$x = 2$，$y = 3$代入方程$ax + y = 4$，得$2a + 3 = 4$，解得$a = \frac{1}{2}$. 

15（14分）【新情境·河南特产】河南是一个茶叶种植大省，除了被列为中国十大名茶之一的信阳毛尖外，有名的还有太白银毫、清淮绿梭、固始皇姑山茶、震雷春、赛山玉莲等．两位朋友到茶馆品味河南名茶，经问询知2杯A款茶和3杯B款茶共需46元；1杯A款茶和1杯B款茶共需18元．
（1）A款茶和B款茶的销售单价各是多少元？
（2）若购买A、B两款茶（两种都要有）刚好共花费90元，有几种购买方案？

答案： 解：（1）设A款茶和B款茶的销售单价分别是$x$元和$y$元，根据题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 46\\x + y = 18\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8\\y = 10\end{cases}$. 答：A款茶和B款茶的销售单价分别是8元和10元. （2）设购买A款茶$a$杯，购买B款茶$b$杯，则$8a + 10b = 90$，即$b = 9 - \frac{4}{5}a$.$\because a$、$b$均为正整数，$\therefore\begin{cases}a = 10\\b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 5\\b = 5\end{cases}$，故共有2种购买方案.

16（16分）【新趋势·探究性问题】已知关于$x、y$的方程组$\begin{cases}x - y = 4a - 3, \\x + 2y = -5a.\end{cases}$
（1）①当$a = 0$时，该方程组的解是______；②$x$与$y$的数量关系是______．（不含字母$a$）
（2）是否存在有理数$a$，使得$|x + 3|+y^{2}=0$？请写出你的思考过程．

答案： 解：（1）①$\begin{cases}x = - 2\\y = 1\end{cases}$ 提示：把$a = 0$代入方程组，得$\begin{cases}x - y = - 3,①\\x + 2y = 0,②\end{cases}$，$② - ①$，得$3y = 3$，即$y = 1$. 把$y = 1$代入$①$，得$x - 1 = - 3$，解得$x = - 2$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = - 2\\y = 1\end{cases}$. - ②$3x + y = - 5$ 提示：方程组$\begin{cases}x - y = 4a - 3,①\\x + 2y = - 5a,②\end{cases}$，$①\times5$，得$5x - 5y = 20a - 15③$.$②\times4$，得$4x + 8y = - 20a④$.$③ + ④$，得$9x + 3y = - 15$，即$3x + y = - 5$. （2）不存在有理数$a$，使得$|x + 3|+y^2 = 0$. 理由如下：$\because|x + 3|+y^2 = 0$，$\therefore x + 3 = 0$，$y = 0$，解得$x = - 3$，$y = 0$，代入方程组得$\begin{cases}- 3 = 4a - 3\\- 3 = - 5a\end{cases}$，解得$a = 0$且$a = \frac{3}{5}$，矛盾，故不存在有理数$a$，使得$|x + 3|+y^2 = 0$.