《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

典例1 解方程组：$\begin{cases}3m - 4n = 7, &①\\9m - 10n + 25 = 0. &②\end{cases}$

答案： 【规范解答】由②，得3(3m - 4n)+2n + 25 = 0③。将①代入③，得3×7+2n + 25 = 0，解得n = -23。将n = -23代入①，得3m - 4×(-23)=7，解得m = -$\frac{85}{3}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}m = -\frac{85}{3}\\n = -23\end{cases}$。

学霸说 若方程组两个方程中的同一未知数的系数是倍数关系，可用整体代入法求解.本题两个方程中$m$的系数成倍数关系，故可直接将______变形，将______整体代入求解.
【规范解答】

答案： 由②，得3(3m - 4n)+2n + 25 = 0③。将①代入③，得3×7+2n + 25 = 0，解得n = -23。将n = -23代入①，得3m - 4×(-23)=7，解得m = -$\frac{85}{3}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}m = -\frac{85}{3}\\n = -23\end{cases}$。

1 解方程组：$\begin{cases}3x - y + 1 = 0, &①\\\dfrac{6x - 2y + 2}{3}+ 2y = 4. &②\end{cases}$

答案： 解：由②，得$\frac{2(3x - y + 1)}{3}$+2y = 4③。将①代入③，得$\frac{2×0}{3}$+2y = 4，解得y = 2。把y = 2代入①，得3x - 2 + 1 = 0，解得x = $\frac{1}{3}$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{3}\\y = 2\end{cases}$。

典例2 解方程组：$\begin{cases}\dfrac{x - 3}{2}- 3(y - 1) = 0, \\2(x - 3)- 2(y - 1) = 10.\end{cases}$

答案： 设x - 3 = m，y - 1 = n， 则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{m}{2}-3n = 0\\2m - 2n = 10\end{cases}$， 解得$\begin{cases}m = 6\\n = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}x - 3 = 6\\y - 1 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = 2\end{cases}$， 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 9\\y = 2\end{cases}$。

学霸说 当方程组中的每个方程都含有结构相同的整式时，可用换元法求解.本题可将______和______分别用新字母代替（即换元），求解新字母的值后，再求解$x$和$y$.
【规范解答】

答案： x - 3 y - 1 【规范解答】设x - 3 = m，y - 1 = n， 则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{m}{2}-3n = 0\\2m - 2n = 10\end{cases}$， 解得$\begin{cases}m = 6\\n = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}x - 3 = 6\\y - 1 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = 2\end{cases}$， 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 9\\y = 2\end{cases}$。

2 解方程组：$\begin{cases}\dfrac{x + y}{2}+\dfrac{x - y}{3}= 6, \\2(x + y)- 3x + 3y = 24.\end{cases}$

答案： 解：设x + y = a，x - y = b，原方程组可化为$\begin{cases}\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=6\\2a - 3b = 24\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 12\\b = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x + y = 12\\x - y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y = 6\end{cases}$，故原方程组的解为$\begin{cases}x = 6\\y = 6\end{cases}$。

典例3 解方程组：$\begin{cases}\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{2}, \\3x - 2y = 22.\end{cases}$

答案： 【规范解答】设$\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=k$，则x = 5k，y = 2k。将x = 5k，y = 2k代入3x - 2y = 22，得15k - 4k = 22，解得k = 2，所以x = 5k = 10，y = 2k = 4，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 10\\y = 4\end{cases}$。

学霸说 当方程组中出现$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$的形式时，常考虑先用参数分别表示出$x$、$y$，然后代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代求出方程组的解.本题中，令______$=k$，先将$x$、$y$用含______的式子表示出来，再代入另一个方程求解.
【规范解答】

答案： $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}$ k 【规范解答】设$\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=k$，则x = 5k，y = 2k。将x = 5k，y = 2k代入3x - 2y = 22，得15k - 4k = 22，解得k = 2，所以x = 5k = 10，y = 2k = 4，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 10\\y = 4\end{cases}$。

3 解方程组：$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}= 0, &①\\2(x + y)- 3(2y - x)= 62. &②\end{cases}$

答案： 解：由①，得$\frac{x}{3}=-\frac{y}{4}$，设$\frac{x}{3}=-\frac{y}{4}=k$，则x = 3k，y = -4k。将x = 3k，y = -4k代入②，得2(3k - 4k)-3[2×(-4k)-3k]=62，解得k = 2，所以x = 3k = 6，y = -4k = -8，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 6\\y = -8\end{cases}$。