《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

1 下列是三元一次方程组的是 ( )
A. $\begin{cases}2x = 5, \\x^{2}+y = 7, \\x + y + z = 7\end{cases}$
B. $\begin{cases}\frac{3}{x}-y + z = 2, \\x - 2y + 3z = 9, \\y = -3\end{cases}$
C. $\begin{cases}xyz = -1, \\x + y = 2, \\x = -3\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 2, \\x + z = 3, \\y + z = -1\end{cases}$

答案： D 解析：选项A中，方程x² + y = 7不是一次方程，故方程组不是三元一次方程组；选项B中，方程3/x - y + z = 2不是整式方程，故方程组不是三元一次方程组；选项C中，方程xyz = -1不是一次方程，故方程组不是三元一次方程组. 故选D. 解题关键点：三元一次方程组一共要含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数.

2 (河南洛阳新安期中)方程组$\begin{cases}x - z = 4, \\z - 2y = -1, \\x + y - z = -1\end{cases}$的解是 ( )
A. $\begin{cases}x = 7, \\y = -5, \\z = -11\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = -7, \\y = 5, \\z = -11\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = -7, \\y = -5, \\z = -11\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = 7, \\y = -5, \\z = 11\end{cases}$

答案： C

3 观察方程组$\begin{cases}2x + y - 3z = 14,① \\5x - y + 2z = 8, ② \\6x + y - 5z = -2 ③\end{cases}$的系数特点，若要求解简便，消元时应该先消去 ( )
A. $x$
B. $y$
C. $z$
D. $x$或$y$

答案： B 解析：① + ②可直接消去y，② + ③也可直接消去y，那么可以得到一个关于x、z的二元一次方程组，所以要使求解简便，应先消去y. 故选B.

4 (河南南阳西峡期中)解方程组:$\begin{cases}x + 2y - z = 1, \\3x - 3y + z = 2, \\2x + 3y + z = 7.\end{cases}$

答案： 解： \[ \begin{cases} x + 2y - z = 1, &① \\ 3x - 3y + z = 2, &② \\ 2x + 3y + z = 7, &③ \end{cases} \] ① + ②，得4x - y = 3，④ ① + ③，得3x + 5y = 8，⑤ （先消元，变为二元一次方程组.） ④和⑤组成方程组\[ \begin{cases} 4x - y = 3, \\ 3x + 5y = 8, \end{cases} \]解得\[ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1. \end{cases} \] 把\[ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases} \]代入①，得1 + 2 - z = 1，解得z = 2， 所以原方程组的解是\[ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 2. \end{cases} \]

5 (教材P44第2题改编)在等式$y = ax^{2}+bx + c$中，当$x = 1$时，$y = -2$；当$x = -1$时，$y = 20$；当$x = \frac{3}{2}$与$x = \frac{1}{3}$时，$y$的值相等，求$a - 2b + c$的值.

答案： 解：
∵当x = 3/2与x = 1/3时，y的值相等，
∴9/4a + 3/2b + c = 1/9a + 1/3b + c，即11a + 6b = 0，
∴列方程组\[ \begin{cases} a + b + c = -2, \\ a - b + c = 20, \\ 11a + 6b = 0, \end{cases} \]解得\[ \begin{cases} a = 6, \\ b = -11, \\ c = 3, \end{cases} \]
∴a - 2b + c = 6 + 22 + 3 = 31.

6 (四川眉山青神期中)现有甲、乙、丙三种产品出售.若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元.则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得______元.

答案： 540 解析：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x元、y元、z元， 由题意，得\[ \begin{cases} 3x + 2y + z = 400, &① \\ x + 2y + 3z = 320, &② \end{cases} \] ① + ②，得4x + 4y + 4z = 720，
∴3x + 3y + 3z = 540，即甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得540元.

7【新趋势·过程性学习】解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，可以用“消元”的方法解三元一次方程组.
解方程组$\begin{cases}x + y + z = 2, ① \\2x + 3y - z = 8,② \\3x - 2y + z = 3,③\end{cases}$
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______ + ______，得$3x + 4y = 10$. ④
______ + ______，得$5x + y = 11$. ⑤
______与______联立，得方程组$\begin{cases}3x + 4y = 10, \\5x + y = 11.\end{cases}$
(1)请你在横线上补全小曹同学的解答过程；
(2)已知方程组$\begin{cases}m + n + p + q = 4, \\2(m + n)+3p - q = 16, \\3(m + n)-2p + q = 6,\end{cases}$则$m + n - 2p + q =$______.

答案： 解：
(1) @@ + @@，得$3x + 4y = 10$. ④ @@ + @@，得$5x + y = 11$. ⑤ @@与@@联立，得方程组$\begin{cases}3x + 4y = 10, \\5x + y = 11.\end{cases}$
(2)已知方程组$\begin{cases}m + n + p + q = 4, \\2(m + n)+3p - q = 16, \\3(m + n)-2p + q = 6,\end{cases}$则$m + n - 2p + q =$@@. 提示：\[ \begin{cases} m + n + p + q = 4, &① \\ 2(m + n) + 3p - q = 16, &② \\ 3(m + n) - 2p + q = 6, &③ \end{cases} \] ①×(-2) + ②，得p - 3q = 8. ④ ①×(-3) + ③，得-5p - 2q = -6. ⑤ ④与⑤联立，得方程组\[ \begin{cases} p - 3q = 8, \\ -5p - 2q = -6, \end{cases} \]解得\[ \begin{cases} p = 2, \\ q = -2, \end{cases} \]将\[ \begin{cases} p = 2, \\ q = -2 \end{cases} \]代入①，得m + n = 4，所以m + n - 2p + q = -2.