《2025年初中学霸创新题七年级数学下册华师大版》

12（浙江宁波鄞州期中）已知二元一次方程组$\begin{cases}5x = 3y - 1,①\\2y = 3x + 3,②\end{cases}$用代入消元法消去$x$，得到关于$y$的一元一次方程为 ( )
A. $2y = \frac{9y}{5}+ \frac{12}{5}$
B. $2y = \frac{9y}{5}- \frac{12}{5}$
C. $2y = \frac{9y}{5}- \frac{17}{5}$
D. $2y = \frac{9y}{5}+ \frac{17}{5}$

答案： A 解析：由①，得x = $\frac{3y}{5}$ - $\frac{1}{5}$③. 把③代入②，得2y = $\frac{9y}{5}$ + $\frac{12}{5}$. 故选A.

13 已知方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\ax + 5y = 4\end{cases}$和$\begin{cases}x - 2y = 5,\\5x + by = 1\end{cases}$有相同的解，则$a、b$的值分别为_______.

答案： 14、2 解析：由题意知，5x + y = 3和x - 2y = 5有相同的解，所以解方程组$\begin{cases}5x + y = 3,\\x - 2y = 5,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x = 1,\\y = -2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + 5y = 4,\\5x + by = 1,\end{cases}$得$\begin{cases}a - 10 = 4,\\5 - 2b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 14,\\b = 2.\end{cases}$

14 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x - y + 1 = 0,\\\frac{3x - y + 4}{3}+ 2y = 5;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}\frac{3x - 5y}{3}- 2 = 0,\\\frac{1}{2}x + 2y + \frac{15}{2}= 0.\end{cases}$

答案： 解：
(1)原方程组整理得$\begin{cases}3x - y = -1, &①\\3x + 5y = 11, &②\end{cases}$ 由①，得y = 3x + 1③. 把③代入②，得3x + 5(3x + 1)=11，解得x = $\frac{1}{3}$. 把x = $\frac{1}{3}$代入③，得y = 2， 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{3},\\y = 2.\end{cases}$
(2)原方程组整理得$\begin{cases}3x - 5y = 6, &①\\x + 4y = -15, &②\end{cases}$ 由②，得x = -4y - 15③. 把③代入①，得3(-4y - 15)-5y = 6，解得y = -3. 把y = -3代入③，得x = -3，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -3,\\y = -3.\end{cases}$

15【新趋势·探究性问题】在解方程组
$\begin{cases}ax + 5y = 10,\\4x - by = - 4\end{cases}$时，由于粗心，甲看错了方程
组中$a$的值，而得解为$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 1,\end{cases}$乙看错了方
程组中$b$的值，而得解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 4.\end{cases}$
(1)甲把$a$看成了什么？乙把$b$看成了什么？
(2)求出原方程组的解.

答案： 解：
(1)将$\begin{cases}x = -3,\\y = -1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + 5y = 10,\\4x - by = -4,\end{cases}$得$\begin{cases}-3a - 5 = 10,\\-12 + b = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -5,\\b = 8.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x = 5,\\y = 4\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + 5y = 10,\\4x - by = -4,\end{cases}$得$\begin{cases}5a + 20 = 10,\\20 - 4b = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -2,\\b = 6.\end{cases}$ 故甲把a看成了 -5，乙把b看成了6.
(2)由
(1)知a = -2，b = 8，所以原方程组为$\begin{cases}-2x + 5y = 10,\\4x - 8y = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 15,\\y = 8,\end{cases}$故原方程组的解为$\begin{cases}x = 15,\\y = 8.\end{cases}$ 核心素养 本题考查了核心素养中的运算能力，正确求出a、b的值是解题关键.

1. 对于有理数 $x、y$，定义新运算“※”：$x※y = ax + by + 1$，$a、b$为常数. 若 $3※5 = 15$，$4※7 = 28$，则 $5※9=$_______.

答案： 41

2. 规定新运算：$x*y = ax + by$，其中 $a、b$是常数. 已知 $2*1 = 4$，$( - 1)*3 = - 9$.
(1)求 $a、b$的值；
(2)求 $1*5$的值；
(3)若$\begin{cases}m*n = - 1,\\(2m)*(\frac{n}{2}) = 4,\end{cases}$求 $m、n$的值.

答案： 解：- （1）$\because x*y = ax + by$，$2*1 = 4$，$(-1)*3 = - 9$，$\therefore\begin{cases}2a + b = 4\\-a + 3b = - 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = - 2\end{cases}$.@@- （2）$\because a = 3$，$b = - 2$，$\therefore x*y = 3x - 2y$，$\therefore 1*5 = 3\times1 - 2\times5 = 3 - 10 = - 7$.@@- （3）由$\begin{cases}m*n = - 1\\(2m)*(\frac{n}{2}) = 4\end{cases}$，得$\begin{cases}3m - 2n = - 1\\6m - n = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$.