《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1.(2025·丽水月考)用数学归纳法证明等式$1 + 2 + 3 + ·s + (n + 3) = \frac{(n + 3)(n + 4)}{2}(n \in \mathbf{N}^*)$，验证$n = 1$时，左边应取的项是 (D)

A.$1$
B.$1 + 2$
C.$1 + 2 + 3$
D.$1 + 2 + 3 + 4$

答案： 1. D 当$n = 1$时，左边$= 1 + 2 + 3 + 4$。

2. 用数学归纳法证明“$2^n ＞ n^2 + 1$对于$n \geqslant n_0$的自然数$n$都成立”时，第一步证明中的起始值$n_0$应取 (C)

A.$2$
B.$3$
C.$5$
D.$6$

答案： 2. C 当$n$取$1, 2, 3, 4$时，$2^n ＞ n^2 + 1$都不成立，当$n = 5$时，$2^5 = 32 ＞ 5^2 + 1 = 26$，所以第一个能使$2^n ＞ n^2 + 1$成立的$n$值为$5$。故起始值$n_0$应取$5$。

3. 用数学归纳法证明:$1 + 2 + 3 + ·s + n^2 = \frac{n^4 + n^2}{2}$，则当$n = k + 1$时，左端在$n = k$时的左端加上$(k^2 + 1) + (k^2 + 2) + ·s + (k + 1)^2$.

答案： 3. $(k^2 + 1) + (k^2 + 2) + ·s + (k + 1)^2$ $n = k$时，左端为$1 + 2 + 3 + ·s + k^2$，$n = k + 1$时，左端为$1 + 2 + 3 + ·s + k^2 + (k^2 + 1) + (k^2 + 2) + ·s + (k + 1)^2$。