《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知$f(x)=\sqrt{x}$，则$f^{\prime}(16)=$ (B)

A.$-\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$-4$
D.$4$

答案： 1. B $\because f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，$\therefore f'(16) = \dfrac{1}{2\sqrt{16}} = \dfrac{1}{8}$.

2. (多选)已知曲线$y = x^{3}$在点$P$处的切线斜率为$k$，则当$k = 3$时的$P$点坐标可以为 (BC)

A.$(-1,1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(1,1)$
D.$(1,-1)$

答案： 2. BC $y' = 3x^{2}$，因为$k = 3$，所以$3x^{2} = 3$，所以$x = \pm 1$，则$P$点坐标为$(-1,-1)$或$(1,1)$.

3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产$x$个单位产品的总成本函数是$C(x)=x^{\frac{1}{5}}$，则生产4个单位产品时，边际成本是 (A)

A.3
B.4
C.8
D.16

答案： 3. A $C'(x) = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$，$C'(4) = \dfrac{3 × 2}{2} = 3$. 故选A.

4. 曲线$y=\frac{1}{x}$在点$M(3,\frac{1}{3})$处的切线方程是$x + 9y - 6 = 0$

答案： 4. $x + 9y - 6 = 0$ $\because y' = -\dfrac{1}{x^{2}}$，$\therefore$在点$M\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$处的斜率$k = -\dfrac{1}{9}$，$\therefore$在点$\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$处的切线方程为$y - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{9}(x - 3)$，即$x + 9y - 6 = 0$.

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数.利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，而常见的初等函数的导数能否借助基本初等函数的求导公式简化计算呢?
[提示]

答案： 可利用导数的四则运算法则进行简化计算.

知识点　导数的四则运算法则
1.$[f(x)\pm g(x)]' =$$ f'(x) \pm g'(x) $;
2.$[f(x)g(x)]' =$$ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $;
3.$\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' =$$ \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0) $;
4.$[cf(x)]' =$$ cf'(x) $.
[提示]
可利用导数的四则运算法则进行简化计算.
[知识点反思]
(1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数即$(f_1(x)\pm f_2(x)\pm ·s\pm f_n(x))'=f'_1(x)\pm f'_2(x)\pm ·s\pm f'_n(x)$.
(2)注意$\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]'=\frac{f'(x)}{g'(x)}$是错误的.

答案： 1. $ f'(x) \pm g'(x) $
2. $ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
3. $ \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0) $
4. $ cf'(x) $