《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 数列$\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, ·s$的第$n$项$a_{n}$与第$n + 1$项$a_{n + 1}$的关系是 (D)

A.$a_{n + 1} = 2a_{n}$
B.$a_{n + 1} = -2a_{n}$
C.$a_{n + 1} = \frac{1}{2}a_{n}$
D.$a_{n + 1} = -\frac{1}{2}a_{n}$

答案： 1. D 后一项与前一项的比值为$-\frac{1}{2}$.

2. 符合递推关系式$a_{n} = 2a_{n - 1}$的数列是 (B)

A.$1, 2, 4, 8, 10, ·s$
B.$1, 2, 4, 8, ·s$
C.$\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}, 2, ·s$
D.$0, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, ·s$

答案： 2. B B项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关系式$ a_{n}=2a_{n-1}$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = 1$，且$a_{n} = 2a_{n - 1} + 1 (n \geqslant 2)$，则$a_{5} =$ (D)

A.$7$
B.$15$
C.$30$
D.$31$

答案： 3. D $\because a_{n}=2a_{n-1}+1(n\geqslant 2),a_{1}=1,\therefore a_{5}=2a_{4}+1=4a_{3}+3=8a_{2}+7=16a_{1}+15=31$.故选D.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n} = 2^{n} - 1$，则$a_{8}$128$=$

答案： 4. 128 因为数列$\{ a_{n}\}$的前$ n$项和为$ S_{n},S_{n}=2^{n}-1$，所以$ a_{8}=S_{8}-S_{7}=2^{8}-1-(2^{7}-1)=2^{7}=128$.

例1. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1$，$a_{n + 1} = -\frac{1}{1 + a_{n}}$，则$a_{2025} =$ (C)

A.$1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-1$
[方法总结1]

答案： 例1：C 当$ n=1$时，$ a_{2}=-\frac{1}{1+a_{1}}=-\frac{1}{2}$，当$ n=2$时，$ a_{3}=-\frac{1}{1+a_{2}}=-2$，当$ n=3$时，$ a_{4}=-\frac{1}{1+a_{3}}$，当$ n=4$时，$ a_{5}=-\frac{1}{1+a_{4}}=-\frac{1}{2}$，所以数列$\{ a_{n}\}$的周期为3，因为$ 2025=3×674+3$，所以$ a_{2025}=a_{3}=-2$.

跟踪训练1
已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1$，且满足$a_{n} = 3a_{n - 1} + \frac{(-1)^{n}}{2} (n \in \mathbf{N}^*, 且 n ＞ 1)$，写出数列$\{ a_{n}\}$的前5项.
[方法总结1]
递推公式反映的是相邻两项（或$n$项）之间的关系. 要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项. 若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性（周期性）.

答案： 跟踪训练1：【解析】 由题意，得$ a_{2}=3a_{1}+\frac{(-1)^{2}}{2}$，而$ a_{1}=1$，所以$ a_{2}=3×1+\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{7}{2}$.同理$ a_{3}=3a_{2}+\frac{(-1)^{3}}{2}=10$，$ a_{4}=3a_{3}+\frac{(-1)^{4}}{2}=\frac{61}{2}$，$ a_{5}=3a_{4}+\frac{(-1)^{5}}{2}=91$.