《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例2 求曲线$y=\sqrt{x}$过点$(3,2)$的切线方程.▶[方法总结2]

答案： 例2：【解析】 因为点$(3,2)$不在曲线$y = \sqrt{x}$上，所以设过$(3,2)$与曲线$y = \sqrt{x}$相切的直线在曲线的切点为$(x_{0},y_{0})$，则$y_{0} = \sqrt{x_{0}}$.
因为$y = \sqrt{x}$，所以$y' = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，所以根据导数的几何意义，曲线在点$(x_{0},y_{0})$处的切线斜率$k = \dfrac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$.
因为切线过点$(3,2)$，所以$\dfrac{2 - y_{0}}{3 - x_{0}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$，即$\dfrac{2 - \sqrt{x_{0}}}{3 - x_{0}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$，整理得$(\sqrt{x_{0}})^{2} - 4\sqrt{x_{0}} + 3 = 0$，解得$x_{0} = 1$或$x_{0} = 9$，所以切点坐标为$(1,1)$或$(9,3)$.
①当切点坐标为$(1,1)$时，切线斜率$k = \dfrac{1}{2}$，所以切线方程为$y - 2 = \dfrac{1}{2}(x - 3)$，即$x - 2y + 1 = 0$.
②当切点坐标为$(9,3)$时，切线斜率$k = \dfrac{1}{6}$，所以切线方程为$y - 2 = \dfrac{1}{6}(x - 3)$，即$x - 6y + 9 = 0$.
综上可知：曲线$y = \sqrt{x}$过点$(3,2)$的切线方程为$x - 2y + 1 = 0$或$x - 6y + 9 = 0$.

[方法总结2]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式等于用导数求得的斜率造方程进行求解.
跟踪训练2
已知直线$y = kx$是曲线$y = 3^{x}$的切线，求$k$的值.

答案： 跟踪训练2：【解析】 设切点为$(x_{0},y_{0})$.
因为$y' = 3^{x}\ln 3$，所以$k = 3^{x_{0}}\ln 3$，所以切线方程为$y = 3^{x_{0}}\ln 3 · x$.
又因为切点$(x_{0},y_{0})$既在切线上又在曲线$y = 3^{x}$上，所以$3^{x_{0}}\ln 3 · x_{0} = 3^{x_{0}}$，所以$x_{0} = \dfrac{1}{\ln 3} = \log_{3}e$，所以$k = e\ln 3$.