《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例2. 求下列函数的导数：
(1)$y = (4 - 3x)^{2}$；
(2)$y = \cos\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$；
(3)$y = \ln(4x - 1)$；
(4)$y = e^{x^{2}}$. ➩[方法总结2]

答案： 例2：【解析】
(1)设$ y = u^2 $，$ u = 4 - 3x $，则$ y'_u = 2u $，$ u'_x = -3 $，于是$ y'_x = y'_u · u'_x = 2(4 - 3x) · (-3) = 18x - 24 $，即$ y' = 18x - 24 $.
(2)设$ y = \cos u $，$ u = 2x - \frac{\pi}{4} $，则$ y'_u = -\sin u $，$ u'_x = 2 $，于是$ y'_x = y'_u · u'_x = -2\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) $，即$ y' = -2\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) $.
(3)设$ y = \ln u $，$ u = 4x - 1 $，即$ y'_u = \frac{1}{u} $，$ u'_x = 4 $，于是$ y'_x = y'_u · u'_x = \frac{4}{4x - 1} $，即$ y' = \frac{4}{4x - 1} $.
(4)设$ y = e^u $，$ u = x^2 $，则$ y'_u = e^u $，$ u'_x = 2x $，于是$ y'_x = y'_u · u'_x = e^{x^2} · 2x $，即$ y' = 2x e^{x^2} $.

▶跟踪训练2
求下列函数的导数：
(1)$y = (2x - 1)^{4}$；
(2)$y = 10^{2x + 3}$；
(3)$y = e^{- x} · \sin 2x$；
(4)$y = \frac{\ln(3x)}{e^{x}}$.

答案： 跟踪训练2：【解析】
(1)设$ y = u^4 $，$ u = 2x - 1 $，则$ y'_x = y'_u · u'_x = (u^4)'(2x - 1)' = 4u^3 · 2 = 8(2x - 1)^3 $.
(2)设$ y = 10^u $，$ u = 2x + 3 $，则$ y'_x = y'_u · u'_x = (10^u)'(2x + 3)' = 10^u \ln 10 × 2 = 2\ln 10 · 10^{2x + 3} $.
(3)$ y'_x = (e^{-x})' \sin 2x + e^{-x} · (\sin 2x)' = -e^{-x} \sin 2x + 2e^{-x} \cos 2x $.
(4)$ y'_x = \frac{[\ln(3x)]' · e^x - \ln(3x) · (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\frac{3}{3x} · e^x - \ln(3x) · e^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - x\ln(3x)}{x e^x} $.