《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1,a_{n} + a_{n + 1} = 3,S_{n}$为其前$n$项和，则$S_{2025} =$ (D)

A.$3034$
B.$3035$
C.$3036$
D.$3037$

答案： 1.D 由题意$a_{2}=2$,$a_{3}=1$,$a_{4}=2$,$·s$,故奇数项为1,偶数项为2,则$S_{2025}=a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5})+·s +(a_{2024}+a_{2025})=1+3×1012=3037$.

2. 设$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + ·s + 2^{n - 1}$，则$S_{n} =$ (D)

A.$2^{n} - 1$
B.$2^{n - 1} - 1$
C.$2^{n} - n - 1$
D.$2^{n + 1} - n - 2$

答案： 2.D $\because a_{n}=1+2+2^{2}+·s +2^{n-1}=\frac {1×(1-2^{n})}{1-2}=2^{n}-1$,$\therefore S_{n}=(2^{1}-1)+(2^{2}-1)+·s +(2^{n}-1)=\frac {2×(1-2^{n})}{1-2}-n=2^{n+1}-n-2$.

3.$\sin^{2}1^{\circ} + \sin^{2}2^{\circ} + \sin^{2}3^{\circ} + ·s + \sin^{2}88^{\circ} + \sin^{2}89^{\circ} =$
44.5

答案： 3.44.5 设$S=\sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}3^{\circ}+·s +\sin^{2}88^{\circ}+\sin^{2}89^{\circ}$,①将①式右边反序得,$S=\sin^{2}89^{\circ}+\sin^{2}88^{\circ}+·s +\sin^{2}3^{\circ}+\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}1^{\circ}$,② ①$+$②得,$2S=(\sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}89^{\circ})+(\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}88^{\circ})+·s +(\sin^{2}89^{\circ}+\sin^{2}1^{\circ})=(\sin^{2}1^{\circ}+\cos^{2}1^{\circ})+(\sin^{2}2^{\circ}+\cos^{2}2^{\circ})+·s +(\sin^{2}89^{\circ}+\cos^{2}89^{\circ})=89$,$\therefore S=44.5$.

4. 化简：$S_{n} = x + 2x^{2} + 3x^{3} + ·s + nx^{n}(x \neq 0) =$
.

答案： 4.$\begin{cases}\frac {n(n+1)}{2},x=1,\frac {x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac {nx^{n+1}}{1-x},x\neq1 且 x\neq0\end{cases}$ 当$x=1$时,$S_{n}=1+2+3+·s +n=\frac {n(n+1)}{2}$;当$x\neq1$时,$S_{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+·s +nx^{n}$,
$xS_{n}=x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+·s +(n-1)x^{n}+nx^{n+1}$,$\therefore (1-x)S_{n}=x+x^{2}+x^{3}+·s +x^{n}-nx^{n+1}=\frac {x(1-x^{n})}{1-x}-nx^{n+1}$,$\therefore S_{n}=\frac {x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac {nx^{n+1}}{1-x}$.综上,可得$S_{n}=\begin{cases}\frac {n(n+1)}{2},x=1,\frac {x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac {nx^{n+1}}{1-x},x\neq1 且 x\neq0\end{cases}$.

多米诺骨牌是一种木制、骨制或塑料制成的长方体骨牌，按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下.多米诺骨牌发生连锁反应的前提条件是什么呢？
[提示]
[提示]
需要第一块骨牌倒下且每一块骨牌都可以推倒下一块骨牌.

答案： 第一块骨牌倒下且每一块骨牌都能推倒下一块骨牌

知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数$n$有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当$\underline{n=n_0}$时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当$\underline{n=k(k$$n=k$$\in \mathbf{N}^*,k$$n_0$$\geqslant n_0)}$时命题成立”为条件，推出“当$\underline{n=k+1}$时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从$n=n_0$开始的所有正整数$n$都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
[知识点反思]
[知识点反思]
(1)初始值$n_0$选择不一定是$1$，要结合题意恰当的选择；
(2)数学归纳法的实质在于递推，所以从“$k$”到“$k + 1$”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由$n = k$到$n = k + 1$时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.

答案：
(1)$n = n_0 (n_0 \in \mathbf{N}^*)$
(2)$n = k$ $n = k + 1$ $n_0$