《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

知识点二 曲线的割线与切线
1.割线与切线的关系
如图所示，当曲线$y = f(x)$上的动点$P_n(x_n,f(x_n))$沿着曲线无限接近定点$P(x_0,f(x_0))$时，割线$PP_n$无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线$PT$称为曲线在点$P$处的切线.(1)(2)(3)(4)

2.割线斜率与切线斜率的关系
割线$PP_n$的斜率是$k_n = \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0}$，当点$P_n$沿着曲线无限接近点$P$时，$k_n$无限趋近于切线$PT$的斜率$k$，即$k = \lim_{x_n \to x_0} \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} (\Delta x = x_n - x_0)$. [知识点反思2]

答案： 割线斜率$k_n=\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n - x_0}$，切线斜率$k = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

1.若一质点的运动方程为$s = t^2 + 2$，则在时间段$[1,2]$中的平均速度是3

答案： 1. 3 $\boldsymbol{\overline{v}=\frac{(2^{2}+2)-(1^{2}+2)}{2 - 1}=3}$。

2.抛物线$y = 2x^2$在点$(1,2)$处的切线的斜率是4.

答案： 2. 4 $\boldsymbol{k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2(1+\Delta x)^{2}-2×1^{2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(2\Delta x + 4)=4}$。

例1.一个物体做直线运动，位移$s$(单位：m)与时间$t$(单位：s)之间的函数关系为$s(t) = 5t^2 + t$，求这一物体在$2 \leq t \leq 3$这段时间内的平均速度.
[方法总结1]
[知识点反思1]
(1)“$\Delta t \to 0$”读作“$\Delta t$无限趋近于0”，是指时间间隔要多小就有多小.$\Delta t$可正，可负，$|\Delta t|$可以小于任何预先给定的正数，但$\Delta t$始终不能为零；
(2)当$\Delta t \to 0$，比值$\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$趋近于一个确定的常数$l$时，在数学中称此常数为“当$\Delta t$无限趋近于0时，$\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$的极限”，记作$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = l$.
[知识点反思2]
曲线在某点处的切线的理解
(1)切线随切点的变化而不同；
(2)曲线在其上某点处可能不存在切线；
(3)曲线的切线与曲线可能有不止一个交点.
[方法总结1]
求物体运动的平均速度的步骤
(1)先计算位移的改变量$s(t_2) - s(t_1)$；
(2)再计算时间的改变量$t_2 - t_1$；
(3)得平均速度$\overline{v} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$.

答案： 例1：【解析】 由已知，得
$\boldsymbol{\overline{v}=\frac{s(3)-s(2)}{3 - 2}=\frac{5×3^{2}+3-(5×2^{2}+2)}{3 - 2}=26}$。