《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

知识点二 等差数列前$n$项和的函数特征
在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d = \frac{d}{2}n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})n$.
当$d = 0$时，$S_{n} = na_{1}$；
当$d \neq 0$时，$S_{n}$是关于$n$的二次函数.[知识点反思2]
[知识点反思2]
$S_{n} = An^{2} + Bn + C$，若$C \neq 0$，则$\{ a_{n}\}$不是等差数列；若$C = 0$，则$\{ a_{n}\}$是等差数列.

答案： （根据题目要求，本题未给出选项，此部分无需填写）

1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = 1$，公差$d = - 2$，则前10项和$S_{10} =$

A.-20
B.-40
C.-60
D.-80

答案： 1. D 由公式$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}× d$，得$S_{10}=10×1+\frac{10×9}{2}×(-2)= - 80$。

2. 等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1} = - 1$，$S_{25} = 30$，则公差$d =$$\frac{11}{60}$.

答案： 2. $\frac{11}{60}$ 由$S_{25}=-25+\frac{1}{2}×24×25× d = 30$，解得$d=\frac{11}{60}$。

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，若$a_{1} = 15$，$a_{5} = 25$，则$S_{5} =$100.

答案： 3. 100 $S_{5}=\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}=\frac{5×(15 + 25)}{2}=100$。

例1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中：
(1)$a_{1} = 1$，$a_{4} = 7$，求$S_{9}$；
(2)$a_{3} + a_{15} = 40$，求$S_{17}$；
(3)$a_{1} = \frac{5}{6}$，$a_{n} = - \frac{3}{2}$，$S_{n} = - 5$，求$n$和$d$.[方法总结1]
[方法总结1]
等差数列中的基本计算
(1) 利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前$n$项和公式中有五个量$a_{1}$，$d$，$n$，$a_{n}$和$S_{n}$，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量$a_{1}$和$d$的方程组，解出$a_{1}$和$d$便可解决问题.解题时注意整体代换的思想；
(2) 结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若$m + n = p + q$，$m$，$n$，$p$，$q$，$k \in \mathbf{N}^{*}$，则$a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$，特别地，$m + n = 2k$，则$2a_{k} = a_{m} + a_{n}$，常与求和公式$S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$结合使用.

答案： 例1：【解析】
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，
则$a_{4}=a_{1}+3d = 1 + 3d = 7$，
所以$d = 2$。
故$S_{9}=9a_{1}+\frac{9×8}{2}d = 9+\frac{9×8}{2}×2 = 81$。
(2)$S_{17}=\frac{17(a_{1}+a_{17})}{2}=\frac{17(a_{3}+a_{15})}{2}=\frac{17×40}{2}=340$。
(3)由题意得$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(\frac{5}{6}-\frac{3}{2})}{2}=-5$，
解得$n = 15$。
又$a_{15}=\frac{5}{6}+(15 - 1)d = -\frac{3}{2}$，
所以$d = -\frac{1}{6}$，
所以$n = 15$，$d = -\frac{1}{6}$。