《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练3
求抛物线$f(x) = x^2 - 2x + 3$在点$(1,2)$处的切线方程.

答案： 跟踪训练3：【解析】 由$\boldsymbol{\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}$
$\boldsymbol{=\frac{(1+\Delta x)^{2}-2(1+\Delta x)+3 - 2}{\Delta x}=\Delta x}$，
可得切线的斜率为$\boldsymbol{k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta x = 0}$。
所以切线的方程为$\boldsymbol{y - 2 = 0×(x - 1)}$，即$\boldsymbol{y = 2}$。

1.设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过$t$秒后的距离为$s = \frac{1}{4}t^4 - 4t^3 + 16t^2$(单位：米)，则列车运行10秒的平均速度为

A.10米/秒
B.8米/秒
C.4米/秒
D.0米/秒

答案： 1. A 列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为$s(10)-s(0)=100 - 0 = 100$（米），则列车运行10秒的平均速度为$\boldsymbol{\frac{s(10)-s(0)}{10 - 0}=10}$（米/秒）。

2.一物体做直线运动，其运动方程为$s(t) = -t^2 + 2t$，则它在$t = 0$时的速度为

A.-2
B.-1
C.0
D.2

答案： 2. D 因为$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{-(t+\Delta t)^{2}+2(t+\Delta t)-(-t^{2}+2t)}{\Delta t}=}$$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta t \to 0}(-2t + 2 - \Delta t)=-2t + 2}$，所以当$t = 0$时，其速度为2。

3.函数$y = \frac{4}{x^2}$在$x = 2$处的切线斜率为-1.

答案： 3. -1 因为$\boldsymbol{\Delta y=\frac{4}{(2+\Delta x)^{2}}-\frac{4}{2^{2}}=\frac{4}{(2+\Delta x)^{2}}-1=-\frac{(\Delta x)^{2}+4\Delta x}{(2+\Delta x)^{2}}}$，所以$\boldsymbol{\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\Delta x + 4}{(\Delta x + 2)^{2}}}$，所以$\boldsymbol{k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=}$$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{-\Delta x - 4}{(\Delta x + 2)^{2}}=\frac{-4}{4}=-1}$。

4.抛物线$y = x^2 + 4$在点$(1,5)$处的切线方程为$2x - y + 3 = 0$.

答案： 4. $2x - y + 3 = 0$ 切线斜率$\boldsymbol{k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^{2}+4 - 5}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(\Delta x + 2)=2}$。所以切线的方程为$\boldsymbol{y - 5 = 2(x - 1)}$，即$\boldsymbol{2x - y + 3 = 0}$。

变速直线运动的瞬时速度问题，抛物线的切线的斜率问题，都是研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 物体的运动方程$s(t)=5t^{2}+t$，抛物线的方程$y = 2x^{2}$其实质都是函数. 今天我们从函数的角度来认识“平均变化率”到“瞬时变化率”的极限思想问题.

答案： 由于本题是简答题，无选项，若按照要求格式完整呈现答案应为：对于物体的运动方程$s(t)=5t^{2}+t$，瞬时速度为$v = 10t+1$；对于抛物线$y = 2x^{2}$，其导数为$y^\prime=4x$。（若为选择题，因无选项内容，无法给出ABCD式答案）