《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例$1$. 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x - 5$；
(2)$f(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x$；
(3)$f(x)=x - \mathrm{e}^{x}(x＞0)$. [方法总结$1$]

答案： 例1:【解析】
(1)因为$ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x - 5 $,
所以$ f'(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1\gt0 $,
所以函数$ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x - 5 $在$ \mathbf{R} $上单调递增.
(2)因为$ f(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x,x\in(0,+\infty) $,
所以$ f'(x)=1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x} $
$ =\frac{x^{2}-x + 1}{x^{2}}=\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}{x^{2}}\gt0 $,
所以$ f(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x $在$ (0,+\infty) $上单调递增.
(3)因为$ f(x)=x-\mathrm{e}^{x},x\in(0,+\infty) $,
所以$ f'(x)=1-\mathrm{e}^{x}\lt0 $,
所以$ f(x)=x-\mathrm{e}^{x} $在$ (0,+\infty) $上单调递减.

跟踪训练$1$
证明：函数$f(x)=2x^{2}-\ln x$在区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增,在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减.

答案： 跟踪训练1:【证明】 函数的定义域为$ (0,+\infty) $.
$ f'(x)=4x-\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}-1}{x}=\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x} $.
当$ x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right) $时,$ 2x + 1\gt0,2x - 1\gt0,x\gt0 $,
所以$ f'(x)\gt0 $,
所以$ f(x) $在$ \left(\frac{1}{2},+\infty\right) $上单调递增；
当$ x\in\left(0,\frac{1}{2}\right) $时,$ 2x + 1\gt0,2x - 1\lt0,x\gt0 $,
所以$ f'(x)\lt0 $,
所以$ f(x) $在$ \left(0,\frac{1}{2}\right) $上单调递减.