《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练 2
写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
(1)$2×3,3×4,4×5,5×6,·s$；
(2)$1\frac{1}{2},2\frac{2}{3},3\frac{3}{4},4\frac{4}{5},·s$；
(3)$3,33,333,3333,·s$；
(4)$-1,0,-1,0,·s$.

答案： 跟踪训练2:【解析】
(1)由$2× 3=(1+1)× (1+2),3× 4=(2+1)× (2+2),4× 5=(3+1)× (3+2),5× 6=(4+1)× (4+2),·s,$可得$a_{n}=(n+1)(n+2)$.
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,$·s,$恰好是序号$n$,分数部分与序号$n$的关系为$\frac{n}{n+1}$,故所求数列的一个通项公式为$a_{n}=n+\frac{n}{n+1}=\frac{n^{2}+2n}{n+1}(n\in \mathrm{N}^{*})$.
(3)联想特殊数列9,99,999,$·s$的通项公式为$a_{n}=10^{n}-1$,于是该数列的一个通项公式为$a_{n}=\frac{3}{9}(10^{n}-1)$,即$a_{n}=\frac{1}{3}(10^{n}-1)$.
(4)$a_{n}=\begin{cases} -1(n为奇数),\\ 0(n为偶数) \end{cases}$是此数列的一个通项公式.
由于$-1=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2},0=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$.
联想到$(-1)^{n}$具有转换符号的作用,故此数列的通项公式也可写成$a_{n}=\frac{(-1)^{n}-1}{2}$.

例 3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2 - 5n$.
(1) 写出数列的第 4 项和第 6 项；
(2) 14 是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？25 是否为该数列的一项呢？
(3) 数列$\{a_n\}$中有多少个负数项？
[方法总结 3]
[方法总结 3]
求项或判断某数是否为数列的项的方法

答案： 例3:【解析】
(1)$a_{4}=16-5× 4=-4,a_{6}=36-5× 6=6$.
(2)令$n^{2}-5n=14$,解得$n=7$或$n=-2$(舍去),
所以$n=7$,即14是该数列的第7项.
令$n^{2}-5n=25$,此方程无正整数解.
所以25不是该数列的项.
(3)$a_{n}=n(n-5)$,令$a_{n}＜0$,结合$n\in \mathrm{N}^{*}$,解得$n=1,2,3,4$,即数列$\{ a_{n}\}$中有4个负数项.