《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练1
一质点按运动方程$s(t) = \frac{1}{t}$做直线运动，则其从$t_1 = 1$到$t_2 = 2$的平均速度为

A.-1
B.$-\frac{1}{2}$
C.-2
D.2

答案： 跟踪训练1：B $\boldsymbol{\overline{v}=\frac{s(2)-s(1)}{2 - 1}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}}$。

例2.某物体的运动路程$s$(单位：m)与时间$t$(单位：s)的关系可用函数$s(t) = t^2 - t + 1$表示.
(1)求此物体在$t = 1$s时的瞬时速度；
(2)求此物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s. [方法总结2]

答案： 例2：【解析】
(1)因为$\boldsymbol{\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}}$
$\boldsymbol{=\frac{(1+\Delta t)^{2}-(1+\Delta t)+1-(1^{2}-1 + 1)}{\Delta t}}$
$\boldsymbol{=1+\Delta t}$，
所以$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(1+\Delta t)=1}$。
即物体在$t = 1\ s$时的瞬时速度为$1\ m/s$。
(2)设物体在$t_{0}$时刻的瞬时速度为$9\ m/s$。
又$\boldsymbol{\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}=2t_{0}-1+\Delta t}$。
$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(2t_{0}-1+\Delta t)=2t_{0}-1}$。
于是$2t_{0}-1 = 9$，所以$t_{0}=5$。
则物体在$t = 5\ s$时的瞬时速度为$9\ m/s$。

跟踪训练2
一质点$M$按运动方程$s(t) = at^2 + 1$做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点$M$在$t = 2$s时的瞬时速度为8m/s，则常数$a =$2.

答案： 跟踪训练2：2 $\boldsymbol{\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(2+\Delta t)-s(2)}{\Delta t}=\frac{a(2+\Delta t)^{2}-4a}{\Delta t}=4a + a\Delta t}$，质点$M$在$t = 2\ s$时的瞬时速度为质点$M$在$t = 2$附近平均速度的极限值，即$\boldsymbol{\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=4a = 8}$，$\boldsymbol{\therefore a = 2}$。

例3.求抛物线$f(x) = x^2 - x$在点$(2,2)$处的切线方程. [方法总结3]
[方法总结2]
求物体运动的瞬时速度的步骤
(1)求位移改变量$\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)$；
(2)求平均速度$\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$；
(3)求瞬时速度，当$\Delta t$无限趋近于0时，$\frac{\Delta s}{\Delta t}$无限趋近于的常数$v$即为瞬时速度，即$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
[方法总结3]
求曲线在点$P_0(x_0,f(x_0))$处的切线方程的步骤

求斜率
利用公式$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
写方程
利用点斜式$y - f(x_0) = k(x - x_0)$求方程
变形式
将点斜式方程化为一般式方程

答案： 例3：【解析】 $\boldsymbol{\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}$
$\boldsymbol{=\frac{(2+\Delta x)^{2}-(2+\Delta x)-2}{\Delta x}=3+\Delta x}$。
所以切线的斜率$\boldsymbol{k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}$
$\boldsymbol{=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(3+\Delta x)=3}$。
所以切线方程为$\boldsymbol{y - 2 = 3(x - 2)}$，
即$\boldsymbol{3x - y - 4 = 0}$。