《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例3. (1)曲线$y = \ln(2x - 1)$上的点到直线$2x - y + 3 = 0$的最短距离是 (A)
A.$\sqrt{5}$ 　　B.$2\sqrt{5}$　　C.$3\sqrt{5}$ 　　D.$0$
(2)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式$s(t) = 3\sin\left( \frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6} \right)(0 \leq t \leq 24)$，其中$s$的单位是m,$t$的单位是h,求函数在$t = 18$时的导数，并解释它的实际意义. ➩[方法总结3]

答案： 例3：
(1)A
(2)见解析
【解析】
(1)设曲线$ y = \ln(2x - 1) $在点$ (x_0, y_0) $处的切线与直线$ 2x - y + 3 = 0 $平行. $ \because y' = \frac{2}{2x - 1} $，$ \therefore y'|_{x = x_0} = \frac{2}{2x_0 - 1} = 2 $，解得$ x_0 = 1 $，$ \therefore y_0 = \ln(2 - 1) = 0 $，即切点坐标为$ (1, 0) $. $ \therefore $切点$ (1, 0) $到直线$ 2x - y + 3 = 0 $的距离为$ d = \frac{|2 - 0 + 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \sqrt{5} $，即曲线$ y = \ln(2x - 1) $上的点到直线$ 2x - y + 3 = 0 $的最短距离是$ \sqrt{5} $.
(2)设$ f(x) = 3\sin x $，$ x = \varphi(t) = \frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6} $，所以$ s'(t) = f'(x) \varphi'(t) = 3(\cos x) · \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \cos\left( \frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6} \right) $，将$ t = 18 $代入$ s'(t) $，得$ s'(18) = \frac{\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{8} $(m/h). $ s'(18) $表示当$ t = 18 $h时，潮水的高度上升的速度为$ \frac{\pi}{8} $m/h.

▶跟踪训练3
(1)质点$M$按规律$s(t) = (2t + 1)^{2}$做直线运动(位移单位：m,时间单位：s)，则质点$M$在$t = 2$时的瞬时速度为20$m/s$.
(2)设函数$f(x) = \cos(\sqrt{3}x + \varphi)(0 ＜ \varphi ＜ \pi)$,若$f(x) + f^{\prime}(x)$是奇函数，则$\varphi =$$ \frac{\pi}{6} $.

答案： 跟踪训练3：
(1)20
(2)$ \frac{\pi}{6} $
【解析】
(1)$ \because s(t) = (2t + 1)^2 $，$ \therefore s'(t) = 2(2t + 1) × 2 = 8t + 4 $，则质点在$ t = 2 $时的瞬时速度为$ s'(2) = 8 × 2 + 4 = 20 $(m/s).
(2)$ \because f'(x) = -\sqrt{3} \sin(\sqrt{3}x + \varphi) $，$ \therefore f(x) + f'(x) = \cos(\sqrt{3}x + \varphi) - \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}x + \varphi) $，令$ g(x) = \cos(\sqrt{3}x + \varphi) - \sqrt{3} \sin(\sqrt{3}x + \varphi) $，$ \because $其为奇函数，$ \therefore g(0) = 0 $，即$ \cos \varphi - \sqrt{3} \sin \varphi = 0 $，$ \therefore \tan \varphi = \frac{\sqrt{3}}{3} $，又$ 0 ＜ \varphi ＜ \pi $，$ \therefore \varphi = \frac{\pi}{6} $.

1.(多选)下列函数是复合函数的是(BCD)

A.$y = - x^{3} - \frac{1}{x} + 1$ 　　
B.$y = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$
C.$y = \frac{1}{\ln x}$ 　　　　
D.$y = (2x + 3)^{4}$

答案： 1. BCD $ A $不是复合函数；B、C、D都是复合函数.

2. 函数$y = x(1 - ax)^{2}(a ＞ 0)$，且$y^{\prime}|_{x = 2} = 5$,则$a =$ (A)

A.$1$ 　　
B.$2$ 　　
C.$3$ 　　
D.$4$

答案： 2. A $ y' = (1 - ax)^2 - 2ax(1 - ax) = 3a^2 x^2 - 4ax + 1 $，则$ y'|_{x = 2} = 12a^2 - 8a + 1 = 5 $($ a ＞ 0 $)，解得$ a = 1 $(舍负).

3. 曲线$y = \sin^{2}x$在点$A\left( \frac{\pi}{6},\frac{1}{4} \right)$处的切线的斜率是$ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

答案： 3. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ \because y' = (\sin^2 x)' = 2\sin x (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x $，$ \therefore y'|_{x = \frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ \therefore $曲线在点$ A\left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{4} \right) $处的切线的斜率为$ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4. 已知直线$y = x + 1$与曲线$y = \ln(x + a)$相切，则$a$的值为2.

答案： 4. 2 设直线$ y = x + 1 $与曲线$ y = \ln(x + a) $切于点$ (x_0, y_0) $，则$ y_0 = 1 + x_0 $，$ y_0 = \ln(x_0 + a) $，又曲线的导数为$ y' = \frac{1}{x + a} $，$ \therefore y'|_{x = x_0} = \frac{1}{x_0 + a} = 1 $，即$ x_0 + a = 1 $. 又$ y_0 = \ln(x_0 + a) $，$ \therefore y_0 = 0 $，$ \therefore x_0 = -1 $，$ \therefore a = 2 $.