《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例 2. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=2a_{n} + n - 1$。
(1) 求证：数列$\{ a_{n} + n\}$为等比数列；
(2) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式。
[方法总结 2]
判定或证明数列为等比数列的常用方法
(1) 定义法：$\dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$（$q$为常数且$q\neq 0$）等价于$\{ a_{n}\}$是等比数列；
(2) 通项公式法：$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}(a_{1}\neq 0$且$q\neq 0)$等价于$\{ a_{n}\}$是等比数列；
(3) 等比中项法：若对于任意连续非零三项$a_{n - 1}$，$a_{n}$，$a_{n + 1}$，都有$a_{n}^{2}=a_{n - 1}a_{n + 1}(n\geq 2$且$n\in\mathbf{N}^{*})$，则数列$\{ a_{n}\}$是等比数列。

答案： 例2：【解析】
(1)证明：由$a_{n + 1}=2a_{n}+n - 1$，
得$a_{n + 1}+n + 1=2a_{n}+2n=2(a_{n}+n)$，易知$a_{1}+1=2\neq0$，
$\therefore$数列$\{a_{n}+n\}$是首项与公比都为2的等比数列。
(2)由
(1)得$a_{n}+n=2·2^{n - 1}=2^{n}$，$\therefore a_{n}=2^{n}-n$。

跟踪训练 2
设$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$都是等比数列，若$a_{1}b_{1}=7$，$a_{3}b_{3}=21$，则$a_{5}b_{5}=$63。

答案： 跟踪训练2：63 因为$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$为等比数列，所以$\{a_{n}b_{n}\}$也为等比数列，设$\{a_{n}b_{n}\}$的公比为$q$，又$a_{1}b_{1}=7,a_{3}b_{3}=21$，所以$q^{2}=\frac{a_{3}b_{3}}{a_{1}b_{1}}=3$，即$a_{5}b_{5}=a_{3}b_{3}· q^{2}=21×3=63$。

例 3. 从盛满$a(a ＞ 1)$升纯酒精的容器里倒出$1$升，然后添满水摇匀，再倒出$1$升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
(1) 第$n$次操作后容器中酒精的浓度是多少？
(2) 当$a = 2$时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于$10\%$？
[方法总结 3]
等比数列实际应用的求解思路
(1) 认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
(2) 合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
(3) 针对所求结果作出合理解释。

答案： 例3：【解析】
(1)由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，
设第$n$次操作后容器中酒精的浓度为$a_{n}$，
则第1次操作后容器中酒精的浓度为$a_{1}=1-\frac{1}{a}$，
第$n + 1$次操作后容器中酒精的浓度为$a_{n + 1}=a_{n}\left(1-\frac{1}{a}\right)$，
所以$\{a_{n}\}$是首项为$a_{1}=1-\frac{1}{a}$，
公比为$q=1-\frac{1}{a}$的等比数列，所以$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=\left(1-\frac{1}{a}\right)^{n}$，
即第$n$次操作后容器中酒精的浓度是$\left(1-\frac{1}{a}\right)^{n}$。

跟踪训练 3
画一个边长为$2$的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第$2$个正方形，以第$2$个正方形的一条对角线为边画第$3$个正方形，……，这样共画了$10$个正方形，则第$10$个正方形的面积等于496。

答案： 4. 496 因为$a_{n + 1}=4a_{n}+2^{n}$，所以$a_{n + 1}+2^{n}=4(a_{n}+2^{n - 1})$，所以数列$\{a_{n}+2^{n - 1}\}$是等比数列，首项为2，公比为4，则$a_{n}+2^{n - 1}=2×4^{n - 1}=2^{2n - 1}$，可得$a_{n}=2^{2n - 1}-2^{n - 1}$，则$a_{5}=2^{2×5 - 1}-2^{5 - 1}=2^{9}-2^{4}=496$。