《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

题型一 公式$a_{n} = a_{m} + (n - m)d$的应用
例1. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，$a_{15} = 8,a_{60} = 20$,求$a_{75}$.
[方法总结$1$]

答案： 例1：【解析】 方法一：设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，
则$a_{60} = a_{15} + (60 - 15)d = 8 + 45d$，
所以$d = \frac{20 - 8}{45} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$，
所以$a_{75} = a_{60} + (75 - 60)d = 20 + 15×\frac{4}{15} = 24$。
方法二：因为数列$\{a_{n}\}$为等差数列，
所以$a_{15}$，$a_{30}$，$a_{45}$，$a_{60}$，$a_{75}$也成等差数列，
设其公差为$d$，$a_{15}$为首项，则$a_{60}$为第四项，
所以$a_{60} = a_{15} + 3d$，得$d = 4$，所以$a_{75} = a_{60} + d = 24$。

跟踪训练1
在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{4} = 10,a_{14} = 70$,则$a_{n} =$$6n - 14$.

答案： 跟踪训练1：$6n - 14$
【解析】 方法一：设公差为$d$，则$\begin{cases}a_{1} + 3d = 10, \\ a_{1} + 13d = 70, \end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1} = -8, \\ d = 6, \end{cases}$
所以$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = 6n - 14$。
方法二：设公差为$d$，则$d = \frac{a_{14} - a_{4}}{14 - 4} = \frac{60}{10} = 6$，$a_{n} = a_{4} + (n - 4)·d = 10 + 6(n - 4) = 6n - 14$。

例2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 32,a_{11} + a_{12} + a_{13} = 118$,则$a_{4} + a_{10} =$
(B)

A.$45$
B.$50$
C.$75$
D.$60$
[方法总结$2$]

答案： 例2：B 因为在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 32$，$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 118$。所以$3a_{2} = 32$，$3a_{12} = 118$。所以$a_{2} = \frac{32}{3}$，$a_{12} = \frac{118}{3}$，所以$a_{4} + a_{10} = a_{2} + a_{12} = 50$。

跟踪训练2
在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{3} + a_{9} = 26$,则$a_{3} + 3a_{7} =$ (D)

A.$13$
B.$26$
C.$39$
D.$52$

答案： 跟踪训练2：D 因为数列$\{a_{n}\}$是等差数列，所以$a_{3} + a_{9} = 2a_{6} = 26$，解得$a_{6} = 13$，所以$a_{3} + 3a_{7} = a_{3} + a_{7} + 2a_{7} = 2a_{5} + 2a_{7} = 2(a_{5} + a_{7}) = 4a_{6} = 52$。

例3. 已知两个等差数列$4,7,10,·s$和$8,12,16,·s$都有$100$项，则它们共同的项有 (B)

A.$12$个
B.$24$个
C.$11$个
D.$36$个
[方法总结$3$]

答案： 例3：B 数列$4,7,10,·s$的首项$a_{1} = 4$，公差$d_{1} = 3$，通项公式为$a_{n} = 3n + 1$。数列$8,12,16,·s$的首项$b_{1} = 8$，公差$d_{2} = 4$，通项公式为$b_{m} = 4m + 4$。它们的末项分别为$a_{100} = 301$，$b_{100} = 404$，它们相同的项为$a_{n} = b_{m}$，$3n + 1 = 4m + 4$，$n = \frac{4m}{3} + 1$，其中$n$，$m \in \mathbf{N}^{*}$，所以$m = 3k(k \in \mathbf{N}^{*})$，即$n = 4k + 1$。$a_{4k + 1} = 3(4k + 1) + 1 = 12k + 4 \leq 301$，解得$k \leq 24\frac{3}{4}$，取$k = 24$。

跟踪训练3
已知两个等差数列$\{ a_{n}\}:5,8,11,·s$,与$\{ b_{n}\}:3,7,11,·s$,它们的公共项组成数列$\{ c_{n}\}$,则数列$\{ c_{n}\}$的通项公式$c_{n} =$$12n - 1$;若数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的项数均为$100$,则$\{ c_{n}\}$的项数是$25$.
[方法总结$1$]
等差数列通项公式的常见变形
设等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$,公差为$d$,则
(1)$a_{n} = dn + (a_{1} - d)(n \in N^{*})$;
(2)$a_{n} = a_{m} + (n - m)d(m,n \in N^{*})$;
(3)$d = \frac{a_{n} - a_{m}}{n - m}(m,n \in N^{*}$,且$m \neq n)$.

答案： 跟踪训练3：$12n - 1$ $25$
【解析】 由于数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$都是等差数列，所以$\{c_{n}\}$也是等差数列，且公差为$3×4 = 12$，又$c_{1} = 11$，故$c_{n} = 11 + 12(n - 1) = 12n - 1$。又$a_{100} = 302$，$b_{100} = 399$，所以$\begin{cases}11 \leq 12n - 1 \leq 302, \\ 11 \leq 12n - 1 \leq 399, \end{cases}$解得$1 \leq n \leq 25.25$，故$\{c_{n}\}$的项数为$25$。