《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=3$，公比$q = 2$，则$S_{5}=$ (A)

A.93
B.-93
C.45
D.-45

答案： 1. A $ S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{3 × (1 - 2^5)}{1 - 2} = 93 $.

2.在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1}=1,a_{4}=\frac{1}{8}$，则该数列的前10项和$S_{10}=$ (B)

A.$2-\frac{1}{2^{8}}$
B.$2-\frac{1}{2^{9}}$
C.$2-\frac{1}{2^{10}}$
D.$2-\frac{1}{2^{11}}$

答案： 2. B 易知公比$ q = \frac{1}{2} $，则$ S_{10} = \frac{1 - \frac{1}{2^{10}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^9} $.

3.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公比为2，且$S_{4}=15$，则$a_{1}=$1

答案： 3. 1 依题意，$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 15 $，故$ a_1 + 2a_1 + 4a_1 + 8a_1 = 15 $，解得$ a_1 = 1 $.

例1.求下列等比数列前8项的和：
(1)$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},·s$；(2)$a_{1}=27,a_{9}=\frac{1}{243},q＜0$.
[方法总结1]
求等比数列的前$n$项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比$q = 1$是否成立.

答案： 例1：【解析】
(1)因为$ a_1 = \frac{1}{2} $，$ a_2 = \frac{1}{4} $，可得$ q = \frac{1}{2} $，所以$ S_8 = \frac{\frac{1}{2} × \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8\right]}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{255}{256} $.
(2)由$ a_1 = 27 $，$ a_9 = \frac{1}{243} $，可得$ \frac{1}{243} = 27 · q^8 $.
又由$ q ＜ 0 $，可得$ q = -\frac{1}{3} $，
所以$ S_8 = \frac{a_1 - a_8q}{1 - q} = \frac{a_1 - a_9}{1 - q} = \frac{27 - \frac{1}{243}}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1640}{81} $.

▶跟踪训练1
等比数列$1,x,x^{2},x^{3},·s$的前$n$项和$S_{n}$等于 (C)

A.$\frac{1 - x^{n}}{1 - x}$
B.$\frac{1 - x^{n - 1}}{1 - x}$
C.$\begin{cases} \frac{1 - x^{n}}{1 - x},x\neq1 且 x\neq0 \\ n,x = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \frac{1 - x^{n - 1}}{1 - x},x\neq1 且 x\neq0 \\ n,x = 1 \end{cases}$

答案： 跟踪训练1：C 当$ x = 1 $时，$ S_n = n $；
当$ x \neq 1 $且$ x \neq 0 $时，$ S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} $.