《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例3.数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=4^{n}-3$，求$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断$\{ a_{n}\}$是否是等比数列.
[方法总结3]
利用$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{-a_{1}}{1 - q}· q^{n}+\frac{a_{1}}{1 - q}$结构特点，$q^{n}$的系数与常数项互为相反数来解题，可起到事半功倍的作用.

答案： 例3：【解析】 方法一：当$ n \geq 2 $时，$ a_n = S_n - S_{n - 1} = (4^n - 3) - (4^{n - 1} - 3) = 3 × 4^{n - 1} $.
当$ n = 1 $时，$ a_1 = S_1 = 4^1 - 3 = 1 $，不适合上式.
$ \therefore a_n = \begin{cases} 1, & n = 1, \\ 3 × 4^{n - 1}, & n \geq 2. \end{cases} $
由于$ a_1 = 1 $，$ a_2 = 12 $，$ a_3 = 48 $，
显然$ a_1 $，$ a_2 $，$ a_3 $不是等比数列，
即$ \{a_n\} $不是等比数列.
方法二：由等比数列$ \{b_n\} $的公比$ q \neq 1 $时的前$ n $项和$ S_n = A · q^n + B $满足的条件为$ A = -B $，
对比$ S_n = 4^n - 3 $，$ 1 \neq 3 $，
故$ \{a_n\} $不是等比数列.

▶跟踪训练3
数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，且其前$n$项和为$S_{n}=a·(\frac{1}{3})^{n - 1}+5$，则实数$a =$$-\frac{5}{3}$

答案： 跟踪训练3：$ -\frac{5}{3} $ 由$ S_n = a · \left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} + 5 $，可得$ S_n = 3a · \left(\frac{1}{3}\right)^n + 5 $，依题意有$ 3a + 5 = 0 $，故$ a = -\frac{5}{3} $.

1.数列$1,5,5^{2},5^{3},5^{4},·s$的前10项和为 (B)

A.$\frac{1}{4}(5^{10}-1)$
B.$\frac{1}{4}(5^{10}-1)$
C.$\frac{1}{4}(5^{9}-1)$
D.$\frac{1}{4}(5^{11}-1)$

答案： 1. B $ S_{10} = \frac{1 - 5^{10}}{1 - 5} = \frac{1}{4}(5^{10} - 1) $.

2.已知等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2,q = 2$，前$n$项和$S_{n}=126$，则$n =$ (D)

A.9
B.8
C.7
D.6

答案： 2. D 由等比数列前$ n $项和公式，知$ \frac{2 × (1 - 2^n)}{1 - 2} = 2^{n + 1} - 2 = 126 $，$ n = 6 $，故选D.

3.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=t·3^{n - 2}-\frac{1}{3}$，则实数$t$的值为3

答案： 3. 3 由$ S_n = t · 3^{n - 2} - \frac{1}{3} = \frac{t}{9} · 3^n - \frac{1}{3} $，依题意有$ \frac{t}{9} + \left(-\frac{1}{3}\right) = 0 $，解得$ t = 3 $.

4.(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4则这个数列的公比等于2.

答案： 4. 2 设等比数列为$ \{a_n\} $，其公比为$ q $，前$ n $项和为$ S_n $.
思路1：利用等比数列的前$ n $项和公式.由题意知$ q \neq 1 $，由等比数列的前$ n $项和公式得$ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} $.由题意得$ \frac{a_1(1 - q^4)}{1 - q} = 4 $，$ \frac{a_1(1 - q^8)}{1 - q} = 68 $，解得$ \begin{cases} q = -2, \\ a_1 = -\frac{4}{5}, \end{cases} $（舍去），或$ \begin{cases} q = 2, \\ a_1 = \frac{4}{15}, \end{cases} $因此$ q = 2 $.
思路2：利用等比数列的性质.
数列$ \{a_n\} $的通项公式为$ a_n = a_1q^{n - 1} $，由此可得$ S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_1(1 + q + q^2 + q^3) $，$ S_8 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = a_5(1 + q + q^2 + q^3) $，即$ \frac{S_8 - S_4}{S_4} = \frac{a_5}{a_1} = q^4 $.由题意得$ q^4 = 16 $，解得$ q = -2 $或$ q = 2 $.由数列$ \{a_n\} $的各项均为正数知$ q = -2 $不符合题意，因此$ q = 2 $.