《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

在必修第一册中，我们通过图象直观(图象法)，利用不等式(定义法)研究了函数的单调性.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，知道导数与曲线切线斜率的关系.本节我们研究导数与函数单调性的关系.

答案： 导数与函数单调性的关系：在某个区间$(a,b)$内，如果$f'(x)＞0$，函数单调递增；如果$f'(x)＜0$，函数单调递减；恒有$f'(x)=0$，函数为常数函数.

知识点一 函数$f(x)$的单调性与导函数$f^{\prime}(x)$正负之间的关系

$f^{\prime}(x)$的正负 $f(x)$的单调性
$\forall x\in(a,b),f^{\prime}(x)＞0$ $f(x)$在$(a,b)$上单调递增
$\forall x\in(a,b),f^{\prime}(x)＜0$ $f(x)$在$(a,b)$上单调递减
[知识点反思$1$]

答案： 知识点一
单调递增 单调递减

知识点二 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

越大 在这一范围内变化得较快 比较“ ”陡峭
越小 在这一范围内变化得较慢比较“平缓”
[知识点反思$2$]

答案： 知识点二
范围 陡峭 较慢 平缓

1. 函数$f(x)=\cos x - x$在$(0,\pi)$上的单调性是 (D)

A.先增后减
B.先减后增
C.单调递增
D.单调递减

答案： 1. D 易知$ f'(x)=-\sin x - 1,x\in(0,\pi),\therefore f'(x)\lt0 $,则$ f(x)=\cos x - x $在$ (0,\pi) $上单调递减.

2. 函数$f(x)=\ln x - x$的单调递增区间是 (A)

A.$(0,1)$
B.$(0,+\infty)$
C.$(1,2)$
D.$(2,+\infty)$

答案： 2. A $ f'(x)=\frac{1}{x}-1 $,令$ f'(x)\gt0 $,又$ x\gt0,\therefore 0\lt x\lt1 $,则$ f(x) $的单调递增区间是$ (0,1) $.

3. 已知函数$f(x)$的导函数$y = f^{\prime}(x)$的图象如图所示,则函数$f(x)$的单调递增区间是$ (-1,2),(4,+\infty) $.

答案： 3. $ (-1,2),(4,+\infty) $ 由题图可知,在区间$ (-1,2),(4,+\infty) $上$ f'(x)\gt0 $;在区间$ (-\infty,-1),(2,4) $上$ f'(x)\lt0 $.由导函数的正负与函数单调性的关系可得,函数$ f(x) $的单调递增区间是$ (-1,2),(4,+\infty) $.