《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{2} = 3,a_{5} = 15$,则此数列的通项公式$a_{n} =$ (C)

A.$n - 5$
B.$n + 5$
C.$4n - 5$
D.$4n + 5$

答案： 1. C 设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，因为$a_{5} = a_{2} + (5 - 2)d$，所以$15 = 3 + 3d$，解得$d = 4$。又因为$a_{n} = a_{2} + (n - 2)d$，所以$a_{n} = 3 + (n - 2)×4 = 4n - 5$。

2. 等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} + a_{11} = 10,a_{8} = 6$,则公差$d =$
(B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$- \frac{1}{2}$

答案： 2. B 由$a_{1} + a_{11} = 2a_{6} = 10$，得$a_{6} = 5$，所以$2d = a_{8} - a_{6} = 1$，解得$d = \frac{1}{2}$。

3. 数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，若$a_{3} = 3,\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{5}} = \frac{6}{5}$,则$a_{1} · a_{5} =$ (B)

A.$\frac{5}{2}$
B.$5$
C.$9$
D.$15$

答案： 3. B 因为数列$\{a_{n}\}$为等差数列，且$a_{3} = 3$，所以$a_{1} + a_{5} = 2a_{3} = 6$，因为$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{5}} = \frac{a_{1} + a_{5}}{a_{1}a_{5}} = \frac{6}{5}$，所以$\frac{6}{a_{1}a_{5}} = \frac{6}{5}$，所以$a_{1}·a_{5} = 5$。

4. 设等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{7} + a_{8} + a_{9} ＞ 0,a_{7} + a_{10} ＜ 0$,若$a_{n} ＞ 0$,则项数$n$的最大值是8.

答案： 4. 8 因为$a_{7} + a_{8} + a_{9} = 3a_{8} ＞ 0$，而$a_{7} + a_{10} = a_{8} + a_{9} ＜ 0$，所以$a_{8} ＞ 0$，$a_{9} ＜ 0$，所以等差数列$\{a_{n}\}$单调递减，所以，对于等差数列$\{a_{n}\}$，要使$a_{n} ＞ 0$，则$n$的最大值为8。

高斯7岁的时候首次进入到了学习数学的班级，一天老师布置了一道题目，从1加到100等于多少.小高斯通过细心观察发现：
$1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ·s = 49 + 52 = 50 + 51$.
$1 \sim 100$正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为
$(1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050$.从1到100，正好是公差为1的等差数列.对于一般的等差数列，如何求它的前$n$项和呢？[提示]

答案： 等差数列前$n$项和公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$或$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

知识点一 等差数列前$n$项和公式
公式一：$S_{n} =$$\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
公式二：$S_{n} =$$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$.[知识点反思1]
[提示]
依据等差数列的性质，可以利用倒序相加法求和.
[知识点反思1]
两个公式都需要知道首项$a_{1}$和项数$n$，不同点是公式①还需要知道末项$a_{n}$，公式②还需要知道公差$d$.应用时根据不同的已知条件选择合适的公式，以使计算简化.

答案： 知识点一
$\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ $na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$