《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为 (D)

A.8
B.-2
C.4
D.2

答案： 1. D 由$ \frac{S_{偶}}{S_{奇}} = q $，可知$ q = 2 $。

2. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}a_{2}a_{3} = 1,a_{4} = 4$，则$a_{2} + a_{4} + a_{6} + · · · + a_{2n} =$ (B)

A.$2^{n} - 1$
B.$\frac{4^{n} - 1}{3}$
C.$\frac{1 - ( - 4)^{n}}{3}$
D.$\frac{1 - ( - 2)^{n}}{3}$

答案： 2. B 由$ a_{1}a_{2}a_{3} = 1 $得$ a_{2} = 1 $，又$ a_{4} = 4 $，故$ q^{2} = 4 $，$ a_{2} + a_{4} + a_{6} + ·s + a_{2n} = \frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} = \frac{4^{n} - 1}{3} $。

3. 已知$S_{n}$是等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若存在$m \in \mathbf{N}^{*}$，满足$\frac{S_{2m}}{S_{m}} = 9$，$\frac{a_{2m}}{a_{m}} = \frac{5m + 1}{m - 1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的公比为.2

答案： 3. 2 设数列$ \{a_{n}\} $的公比为$ q $，若$ q = 1 $，则$ \frac{S_{2m}}{S_{m}} = 2 $，与题中条件矛盾，故$ q \neq 1 $。$\therefore \frac{S_{2m}}{S_{m}} = \frac{\frac{a_{1}(1 - q^{2m})}{1 - q}}{\frac{a_{1}(1 - q^{m})}{1 - q}} = q^{m} + 1 = 9,\therefore q^{m} = 8 $。$\because \frac{a_{2m}}{a_{m}} = \frac{a_{1}q^{2m - 1}}{a_{1}q^{m - 1}} = q^{m} = 8 = \frac{5m + 1}{m - 1},\therefore m = 3,\therefore q^{3} = 8,\therefore q = 2 $。

4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.” 意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是.3

答案： 4. 3 设顶层的灯数是$ a_{1} $，则每一层灯数形成以$ a_{1} $为首项，以$ 2 $为公比的等比数列，设为$ \{a_{n}\} $，由题可得$ S_{7} = \frac{a_{1}(1 - 2^{7})}{1 - 2} = 381 $，解得$ a_{1} = 3 $，故塔的顶层的灯数是$ 3 $。

例 1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} + a_{2} = 10,a_{5} - a_{3} = 4$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)设等比数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{2} = a_{3},b_{3} = a_{7}$，设$c_{n} = a_{n} + b_{n}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$.
▶[方法总结$1$]
[方法总结$1$]
可以使用分组转化法的常见数列类型：
(1)若$a_{n} = b_{n} \pm c_{n}$，
且$\{ b_{n}\}$，$\{ c_{n}\}$分别为等差数列和等比数列，则可采用分组转化法求$\{ a_{n}\}$的前$n$项和；
(2)通项公式为$a_{n} = \begin{cases} b_{n}, &n为奇数, \\c_{n}, &n为偶数 \end{cases}$的数列，其中数列$\{ b_{n}\}$，
$\{ c_{n}\}$是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和.

答案： 【解析】
(1)设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$,
则$d=\frac {a_{5}-a_{3}}{2}=2$.
由$a_{1}+a_{2}=10$,得$a_{1}+a_{1}+2=10$,解得$a_{1}=4$.
所以$a_{n}=4+2(n-1)=2n+2$.
(2)设等比数列$\{ b_{n}\}$的公比为$q$,
则$b_{2}=a_{3}=8$,$b_{3}=a_{7}=16$,
所以$q=\frac {b_{3}}{b_{2}}=\frac {16}{8}=2$,
所以$b_{1}=\frac {b_{2}}{q}=4$,
所以$b_{n}=4×2^{n-1}=2^{n+1}$.
则$c_{n}=a_{n}+b_{n}=2n+2+2^{n+1}$,
则$S_{n}=[4+6+·s +(2n+2)]+\frac {4(1-2^{n})}{1-2}$
$=\frac {n(4+2n+2)}{2}+4(2^{n}-1)$
$=2^{n+2}+n^{2}+3n-4$.