《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例3. 某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2023年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50\%. 则
(1)该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆?
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的$\frac{1}{3}$？
[方法总结3]
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型：①变化“量”是同一个常数：等差数列；②变化“率”是同一个常数：等比数列；
(2)提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量$a_{1},q(d),n,a_{n},S_{n}$，列出方程(组)求解.

答案： 例3：【解析】
(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列$ \{a_{n}\} $，其中$ a_{1} = 128,q = \frac{3}{2} $。
所以2029年应投入的数量为
$ a_{7} = a_{1}q^{6} = 128 × \left(\frac{3}{2}\right)^{6} = 1458 $（辆）。
故该市在2029年应该投入1458辆电力型公交车。
(2)设$ \{a_{n}\} $的前$ n $项和为$ S_{n} $，
则$ S_{n} = \frac{128 × \left[1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{n}\right]}{1 - \frac{3}{2}} = 256 × \left[\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - 1\right] $，
由$ S_{n} ＞ (10000 + S_{n}) × \frac{1}{3} $，即$ S_{n} ＞ 5000 $，解得$ n \geq 8 $。
所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的$ \frac{1}{3} $。

跟踪训练3
在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取. 甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元. 乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8\%.
(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元?
(2)为了吸引小李加人公司，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元. 那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入?（参考数据：$1.08^{4} \approx 1.4,1.08^{5} \approx 1.5,1.08^{10} \approx 2.2,1.08^{11} \approx 2.3$）

答案： 跟踪训练3：【解析】
(1)由题意得，小李在乙公司工作第$ n $年的年薪为$ b_{n} = 4.8 · (1 + 8\%)^{n - 1} $。
令$ n = 5 $，得$ b_{5} = 4.8 · (1 + 8\%)^{4} \approx 6.72 $（万元）。
(2)由题意，小李在甲公司连续工作$ n $年的工资总收入为$ 4.2n + \frac{n(n - 1)}{2} × 0.6 $，
小李在乙公司工作10年的总收入为$ \frac{4.8 × [1 - (1 + 8\%)^{10}]}{1 - (1 + 8\%)} + 0.72 × 10 $，
则$ 4.2n + \frac{n(n - 1)}{2} × 0.6 \geq \frac{4.8 × [1 - (1 + 8\%)^{10}]}{1 - (1 + 8\%)} + 7.2 $，
整理得$ (n + 24)(n - 11) \geq 0 $，解得$ n \geq 11 $，
所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入。