《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

知识点一 几个常用函数的导数

▶[知识点反思1]

答案： 知识点一
$0$ $1$ $2x$ $3x^{2}$ $-\dfrac{1}{x^{2}}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

知识点二 基本初等函数的导数公式
| 原函数 | 导函数 |
| --- | --- |
| $f(x)=c$($c$为常数) | $f^{\prime}(x)=$$0$ |
| $f(x)=x^{\alpha}(\alpha\in \mathbf{R}$，且$\alpha\neq0)$ | $f^{\prime}(x)=$$\alpha x^{\alpha - 1}$ |
| $f(x)=\sin x$ | $f^{\prime}(x)=$$\cos x$ |
| $f(x)=\cos x$ | $f^{\prime}(x)=$$-\sin x$ |
| $f(x)=a^{x}$($a＞0$，且$a\neq1$) | $f^{\prime}(x)=$$a^{x}\ln a$ |
| $f(x)=e^{x}$ | $f^{\prime}(x)=$$e^{x}$ |
| $f(x)=\log_{a}x$($a＞0$，且$a\neq1$) | $f^{\prime}(x)=$$\dfrac{1}{x\ln a}$ |
| $f(x)=\ln x$ | $f^{\prime}(x)=$$\dfrac{1}{x}$ |
▶[知识点反思2]
[知识点反思1]
这几个常用函数的实质是基本初等函数中的幂函数，由于经常使用，为了避免转化的麻烦，可单独记忆.
[知识点反思2]
(1)对于根式$f(x)=\sqrt[n]{x^{m}}$，要先转化为幂函数的形式$f(x)=x^{\frac{m}{n}}$，再利用公式求导数，即$f^{\prime}(x)=$$\dfrac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$；
(2)$f(x)=e^{x}$和$f(x)=\ln x$分别是函数$f(x)=a^{x}$($a＞0$，且$a\neq1$)和$f(x)=\log_{a}x$($a＞0$，且$a\neq1$)在底数$a = e$时的特例；
(3)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.

答案： 知识点二
$0$ $\alpha x^{\alpha - 1}$ $\cos x$ $-\sin x$ $a^{x}\ln a$ $e^{x}$ $\dfrac{1}{x\ln a}$ $\dfrac{1}{x}$
知识点反思2
(1) $\dfrac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$