《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例4.已知数列$\{ a_n \}$是正数组成的数列，其前$n$项和为$S_n$，对于一切$n \in \mathbf{N}^*$均有$a_n$与$2$的等差中项等于$S_n$与$2$的等比中项.
(1)计算$a_1,a_2,a_3$，并由此猜想数列$\{ a_n \}$的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.[方法总结4]

答案： 解析
(1) 由$\frac{a_n + 2}{2} = \sqrt{2S_n}$得$S_n = \frac{(a_n + 2)^2}{8}$，
由$S_n$可求得$a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = 10$，
由此猜想$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 4n - 2, n \in \mathbf{N}^*$。
(2) ①当$n = 1$时，$a_1 = 2$，等式成立；
②假设当$n = k (k \in \mathbf{N}^*)$时，等式成立，即$a_k = 4k - 2$，
所以当$n = k + 1$时，$a_{k + 1} = S_{k + 1} - S_k = \frac{(a_{k + 1} + 2)^2}{8} - \frac{(a_k + 2)^2}{8}$，
所以$(a_{k + 1} + a_k)(a_{k + 1} - a_k - 4) = 0$。
又$a_{k + 1} + a_k \neq 0$，所以$a_{k + 1} - a_k - 4 = 0$，
所以$a_{k + 1} = a_k + 4 = 4k - 2 + 4 = 4(k + 1) - 2$，
所以当$n = k + 1$时，等式也成立。由①②可知，$a_n = 4n - 2$对任何$n \in \mathbf{N}^*$都成立。

►跟踪训练4
已知数列$\{ a_n \}$满足$a_1 = 1,a_{n + 1} + a_n a_{n + 1} - a_n = 0(n \in \mathbf{N}^*)$.
(1)求$a_2,a_3,a_4$；
(2)试猜想数列$\{ a_n \}$的通项公式，并用数学归纳法证明.
[方法总结4]
数学归纳法在数列中的应用
(1) 由已知条件归纳、推理、猜想出数列的通项公式或前$n$项和公式；
(2) 利用数学归纳法证明猜想推理正确.

答案： 解析
(1) 由$a_{n + 1} + a_n a_{n + 1} - a_n = 0$可知$a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n}$，
当$n = 1$时，代入$a_1 = 1$，解得$a_2 = \frac{1}{2}$；
当$n = 2$时，代入$a_2 = \frac{1}{2}$，解得$a_3 = \frac{1}{3}$；
当$n = 3$时，代入$a_3 = \frac{1}{3}$，解得$a_4 = \frac{1}{4}$。
(2) 猜想数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{1}{n}$。
①当$n = 1$时，左边$= a_1 = 1$，右边$= \frac{1}{1} = 1$，$a_n = \frac{1}{n}$成立。
②假设当$n = k (k \in \mathbf{N}^*)$时，$a_k = \frac{1}{k}$成立。
则当$n = k + 1$时，有$a_{k + 1} = \frac{a_k}{1 + a_k} = \frac{\frac{1}{k}}{1 + \frac{1}{k}} = \frac{1}{1 + k}$，即当$n = k + 1$时，$a_n = \frac{1}{n}$也成立。
由①②可知，$a_n = \frac{1}{n}$对任何$n \in \mathbf{N}^*$都成立。