《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

例 2. (1)已知$a + 3$是$2a - 1$和$2a + 1$的等差中项，则$3a - 5$和$4a + 6$的等差中项为$_$；11
(2)已知$\triangle ABC$的三边$a$，$b$，$c$成等差数列，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$也成等差数列，则$\triangle ABC$的形状为$_$.[方法总结等边三角形2]

答案： 例2:
(1)11
(2)等边三角形
【解析】
(1)因为$ a + 3 $是$ 2a - 1 $和$ 2a + 1 $的等差中项, 所以$ 2(a + 3) = (2a - 1) + (2a + 1) $, 解得$ a = 3 $, 则$ 3a - 5 = 4 $, $ 4a + 6 = 18 $, 所以$ 3a - 5 $和$ 4a + 6 $的等差中项为$ \frac{4 + 18}{2} = 11 $.
(2)因为$ a, b, c $成等差数列, $ \sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c} $也成等差数列, 所以$ \begin{cases} 2b = a + c, \\ 2\sqrt{b} = \sqrt{a} + \sqrt{c}, \end{cases} $ 则$ 4b = (\sqrt{a} + \sqrt{c})^2 = a + c + 2\sqrt{ac} $, 即$ a + c = 2\sqrt{ac} $, 所以$ (\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 = 0 $, 故$ a = c = b $. 所以$ \triangle ABC $为等边三角形.

跟踪训练 2
在$-1$与$7$之间顺次插入三个数$a$，$b$，$c$，使这五个数成等差数列，求此数列.

答案： 跟踪训练2:【解析】 $ \because -1, a, b, c, 7 $成等差数列,
$ \therefore b $是$ -1 $与7的等差中项, $ \therefore b = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $.
又$ a $是$ -1 $与3的等差中项, $ \therefore a = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $.
又$ c $是3与7的等差中项, $ \therefore c = \frac{3 + 7}{2} = 5 $.
$ \therefore $该数列为$ -1, 1, 3, 5, 7 $.

例 3. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{15}=33$，$a_{61}=217$，试判断$153$是不是这个数列的项？如果是，是第几项？[方法总结 3]
[方法总结 2]
等差中项的应用方法
(1)求两个数$x$，$y$的等差中项$A$，即根据等差中项的定义得$A=\frac{x + y}{2}$；
(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若$a$，$b$，$c$成等差数列，则有$a + c = 2b$；反之，若$a + c = 2b$，则$a$，$b$，$c$成等差数列.

答案： 例3:【解析】 设首项为$ a_1 $, 公差为$ d $, 则$ a_n = a_1 + (n - 1)d $,
由已知得$ \begin{cases} a_1 + (15 - 1)d = 33, \\ a_1 + (61 - 1)d = 217, \end{cases} $ 解得$ \begin{cases} a_1 = -23, \\ d = 4. \end{cases} $
所以$ a_n = -23 + (n - 1) × 4 = 4n - 27 $,
令$ a_n = 153 $, 即$ 4n - 27 = 153 $, 解得$ n = 45 \in \mathbf{N}^* $, 所以153是所给数列的第45项.

[方法总结 3]
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；
(2)等差数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$中共含有四个参数，即$a_{1}$，$d$，$n$，$a_{n}$，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”.
跟踪训练 3
在等差数列$\{ a_{n}\}$中.
(1)已知$a_{5} = -1$，$a_{8} = 2$，求$a_{1}$与$d$；
(2)已知$a_{1}+a_{6}=12$，$a_{4}=7$，求$a_{9}$.

答案： 跟踪训练3:【解析】
(1)$ \because a_5 = -1 $, $ a_8 = 2 $,
$ \therefore \begin{cases} a_1 + 4d = -1, \\ a_1 + 7d = 2, \end{cases} $ 解得$ \begin{cases} a_1 = -5, \\ d = 1. \end{cases} $
(2)设数列$ \{a_n\} $的公差为$ d $,
由已知得, $ \begin{cases} a_1 + a_1 + 5d = 12, \\ a_1 + 3d = 7, \end{cases} $ 解得$ \begin{cases} a_1 = 1, \\ d = 2. \end{cases} $
$ \therefore a_n = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1 $,
$ \therefore a_9 = 2 × 9 - 1 = 17 $.