《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}=27$，$q = -\dfrac{1}{3}$，则$a_{5}=$(C)

A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$

答案： 1. C $a_{5}=a_{2}· q^{3}=27×\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}=-1$。

2. 公比为$2$的等比数列$\{ a_{n}\}$的各项都是正数，且$a_{3}a_{11}=16$，则$a_{5}=$1。

答案： 2. 1 由等比数列的性质，知$a_{7}^{2}=a_{3}a_{11}=16$。又数列$\{a_{n}\}$的各项都是正数，所以$a_{7}=4$。又$a_{7}=a_{5}× q^{2}$，则$a_{5}=\frac{4}{4}=1$。

3. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{3}a_{4}a_{5}=3$，$a_{6}a_{7}a_{8}=24$，试求$a_{9}a_{10}a_{11}$的值。

答案： 3. 【解析】因为$\{a_{n}\}$为等比数列，所以$a_{3}a_{4}a_{5},a_{6}a_{7}a_{8},a_{9}a_{10}a_{11}$仍为等比数列，
公比$q=\frac{a_{6}a_{7}a_{8}}{a_{3}a_{4}a_{5}}=\frac{24}{3}=8$，所以$a_{9}a_{10}a_{11}=(a_{6}a_{7}a_{8})· q=24×8=192$。

例 1. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中：
(1) 已知$a_{5}=4$，$a_{9}=16$，则$a_{7}=$8；
(2) 若$a_{n} ＞ 0$，$a_{5}a_{7} + 2a_{6}a_{8} + a_{6}a_{10}=49$，则$a_{6} + a_{8}=$7；
(3) 若$a_{n} ＞ 0$，$a_{5}a_{6}=9$，则$\log$${3}a_{1} + \log$${3}a_{2} + ·s + \log$${3}a_{10}=$10。
[方法总结 1]
巧用等比数列的性质解题
(1) 解答等比数列问题的基本方法——基本量法
运用方程思想列出基本量$a_{1}$和$q$的方程组，解出$a_{1}$和$q$，然后利用通项公式求解；
(2) 利用等比数列的性质解题
充分发挥项的“下标”的指导作用，分析已知条件中项与项之间的关系，选择恰当的性质解题，可简化解题过程，降低计算难度。

答案： 例1：
(1)8
(2)7
(3)10
【解析】
(1)设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，则$a_{7}=a_{5}q^{2}\gt0$。由等比中项的性质可得$a_{7}^{2}=a_{5}a_{9}=64$，解得$a_{7}=8$。
(2)由等比中项，化简条件得$a_{6}^{2}+2a_{6}a_{8}+a_{8}^{2}=49$，即$(a_{6}+a_{8})^{2}=49$，因为$a_{n}\gt0$，所以$a_{6}+a_{8}=7$。
(3)由等比数列的性质知$a_{5}a_{6}=a_{1}a_{10}=a_{2}a_{9}=a_{3}a_{8}=a_{4}a_{7}=9$，所以$\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+·s+\log_{3}a_{10}=\log_{3}(a_{1}a_{2}··s· a_{10})=\log_{3}[(a_{1}a_{10})(a_{2}a_{9})(a_{3}a_{8})·(a_{4}a_{7})(a_{5}a_{6})]=\log_{3}9^{5}=10$。

跟踪训练 1
在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{6}· a_{12}=6$，$a_{4} + a_{14}=5$，则$\dfrac{a_{25}}{a_{5}}=$(A)

A.$\dfrac{9}{4}$或$\dfrac{4}{9}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{9}{4}$

答案： 跟踪训练1：A 由$a_{6}· a_{12}=a_{4}· a_{14}=6$，且$a_{4}+a_{14}=5$，解得$a_{4}=2,a_{14}=3$或$a_{4}=3,a_{14}=2$，若$a_{4}=2,a_{14}=3$，则$q^{10}=\frac{3}{2}$，即$\frac{a_{25}}{a_{5}}=\frac{9}{4}$；若$a_{4}=3,a_{14}=2$，则$q^{10}=\frac{2}{3}$，即$\frac{a_{25}}{a_{5}}=\frac{4}{9}$。