《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练 3
已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{1}{n(n + 2)}(n\in\mathbf{N}^*)$.
(1) 计算$a_3 + a_4$的值；
(2)$\frac{1}{120}$是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.

答案： 跟踪训练3:【解析】
(1)$\because a_{n}=\frac{1}{n(n+2)},$
$\therefore a_{3}=\frac{1}{3× 5}=\frac{1}{15},a_{4}=\frac{1}{4× 6}=\frac{1}{24},$
$\therefore a_{3}+a_{4}=\frac{1}{15}+\frac{1}{24}=\frac{13}{120}.$
(2)若$\frac{1}{120}$为数列$\{ a_{n}\}$中的项,
则$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120},$
$\therefore n(n+2)=120,$
$\therefore n^{2}+2n-120=0,$
$\therefore n=10$或$n=-12$(舍),
即$\frac{1}{120}$是数列$\{ a_{n}\}$的第10项.

1. 下列说法正确的是 (B)

A.$\{0,1,2,3,4,5\}$是有穷数列
B.所有正整数构成的数列是无穷数列
C.数列中不能重复出现同一个数
D.数列$1,2,3,4,·s,n$是无穷数列

答案： 1. B 因为$\{ 0,1,2,3,4,5\}$是集合,不是数列,故A错误;所有正整数构成的数列是无穷数列,故B正确;由数列的定义可知,数列中可以重复出现同一个数,如数列1,1,1,1,故C错误;数列1,2,3,4,$·s$,$n$,共有$n$项,是有穷数列,故D错误.

2. 数列$\frac{1}{3},-\frac{1}{2},\frac{3}{5},-\frac{2}{3},·s$的通项公式可能是 (D)

A.$a_n = (-1)^n\frac{1}{4 - n}$
B.$a_n = (-1)^{n - 1}\frac{1}{4 - n}$
C.$a_n = (-1)^n\frac{n}{n + 2}$
D.$a_n = (-1)^{n - 1}\frac{n}{n + 2}$

答案： 2. D 方法一:将$n=1,2,3,4$代入各选项验证易得答案.
方法二:将数列$\frac{1}{3},-\frac{1}{2},\frac{3}{5},-\frac{2}{3},·s$变为$\frac{1}{3},-\frac{2}{4},\frac{3}{5},-\frac{4}{6},·s,$从而可知分子的规律为$n$,分母的规律为$n+2$,再结合正负的调节,可知其通项公式为$a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{n}{n+2}$.

3. 在数列$\{a_n\}$中，$a_n = \frac{n + 2}{n + 1}$，则$\{a_n\}$ (D)

A.是常数列
B.不是单调数列
C.是递增数列
D.是递减数列

答案： 3. D 在数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{n}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$,由反比例函数的性质得$\{ a_{n}\}$是递减数列.

4. 已知数列$-1,0,\frac{1}{9},\frac{1}{8},·s,\frac{n - 2}{n^2},·s$，则$\frac{5}{72}$是其 (B)

A.第 14 项
B.第 12 项
C.第 10 项
D.第 8 项

答案： 4. B 令$\frac{n-2}{n^{2}}=\frac{5}{72}$,整理,得$5n^{2}-72n+144=0$,解得$n=12$或$n=\frac{12}{5}$(舍去).故选B.