《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练3
(2025·全国Ⅰ卷)若直线$y = 2x + 5$是曲线$y = e^{x}+x + a$的一条切线，则$a =$4.

答案： 跟踪训练3:4 设切点$(x_0, y_0)$，曲线$y = e^x + x + a$的导数为$y' = e^x + 1$。由切线$y = 2x + 5$得$\begin{cases} y_0 = 2x_0 + 5 \\ e^{x_0} + 1 = 2 \\ y_0 = e^{x_0} + x_0 + a \end{cases}$。由$e^{x_0} + 1 = 2$得$x_0 = 0$，$y_0 = 5$，代入得$a = 4$。

例4. (1) 函数$y = f(x)$的图象如图所示，$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，则下列数值排序正确的是（A）

A.$2f'(3)＜f(5)-f(3)＜2f'(5)$
B.$2f'(5)＜f(5)-f(3)＜2f'(3)$
C.$f(5)-f(3)＜2f'(3)＜2f'(5)$
D.$2f'(3)＜2f'(5)＜f(5)-f(3)$
(2) 若函数$f(x)$的导函数在区间$[a,b]$上单调递增，则函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的图象可能是（A）

[方法总结4]
函数$y = f(x)$在$x = x_{0}$处的导数的几何意义就是该函数曲线在$x = x_{0}$处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数$y = f(x)$在这两点处对应切线的斜率的大小.

答案： 例4:
(1) A 由图知$f'(3) ＜ \frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} ＜ f'(5)$，即$2f'(3) ＜ f(5) - f(3) ＜ 2f'(5)$。
(2) A 函数$f(x)$的导数$f'(x)$在$[a, b]$上递增，故切线斜率在$[a, b]$内递增，只有A选项图象符合。